Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.
Soient
Sous ces conditions, il existe un unique u de K tel que
Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors ce même u est l'unique élément de K qui minimise la fonctionnelle
Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice positive • Matrice définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz
Théorème d'Ascoli • Théorème de Baire • Théorème de Banach-Alaoglu • Théorème de Banach-Mazur • Théorème de Banach-Schauder • Théorème de Banach-Steinhaus • Théorème du graphe fermé • Théorème de Hahn-Banach • Théorème de Lax-Milgram
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur
Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu
De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où
Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente
Pour tout réel r strictement positif, c'est également équivalent à
En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente
où pK est l'opérateur de projection sur K. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique
Pour cela, montrons que P est une application contractante. Soient x et y deux éléments de K. Comme l'opérateur de projection pK est 1-lipschitzienne, on a
D'où
Comme la forme bilinéaire a est coercive, on a
L'application P est contractante si et seulement si 1 + r2c2 − 2rα < 1, c'est-à-dire si on a
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique
La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :
En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :
où
soit encore
ou bien
ce qui conclut la démonstration.