Réciprocité de Frobenius - Définition

Introduction

En mathématiques, et plus précisément dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, la formule de réciprocité de Frobenius établit un lien entre deux fonctions centrales d'un groupe fini G et d'un sous-groupe H de G.

Si χ₁ est un caractère de H, Ind (χ₁) désigne en général le caractère de la représentation induite. Réciproquement, si χ₂ est un caractère de G, Res (χ₂ la restriction du caractère à H. Si < | > désigne la forme hermitienne de l'espace des fonctions centrales, alors la formule de réciprocité de Frobenius exprime l'égalité suivante :

Cette formule doit son nom à Ferdinand Georg Frobenius qui établit pour la première fois l'exactitude de cette formule en 1898.

Énoncé

Soit G un groupe fini, H un sous-groupe de G, K un corps commutatif de caractéristique soit nulle soit première avec g l'ordre du groupe G. Si K est de caractéristique finie alors il est algébrique. Dans tous les cas le polynôme X^g - 1 est scindé sur K. Soit (W, θ) une représentation de H sur le corps K, Ind (θ) ou Ind_H^G (θ) désigne la représentation induite de G par (W, θ), et ψ désigne le caractère de θ. Soit (V, ρ) une représentation de G sur le corps K, La restriction de cette représentation à H est notée Res (ρ) ou Res_H^G (ρ) et son caractère χ. La forme bilinéaire canonique des fonctions centrales, dont la définition exacte est donnée dans le paragraphe sur les caractères est notée < | >_H ou < | >_G selon le groupe utilisé. Ces notations sont valables pour tout l'article, elles permettent d'exprimer la propriété suivante, appelée formule de réciprocité de Frobenius :

• Les deux scalaires suivants sont égaux :

Il est possible de généraliser la fonction Ind_H^G à l'espace vectoriel des fonctions centrales de H de la manière suivante :

• Soit f une fonction centrale de H à valeur dans K et C un système de représentants des classes à gauche, alors la fonction Ind_H^G (f ) est définie de la manière suivante :

Cette définition permet de généraliser la formule de réciprocité de Frobenius :

• Soit f une fonction centrale de H et g une fonction centrale de G, alors l'égalité suivante est vérifiée :

Une autre manière d'exprimer cette propriété est la suivante :

• L'application Ind_H^G est l'adjointe de Res_H^G.

Démonstration

Caractère

Avec les notations précédentes:

• Si s est un élément de G, ψ désigne le caractère de θ, la représentation de H, C un système de représentants des classes de conjugaison (c’est-à-dire un représentant dans chaque classe) et h l'ordre de H, alors la valeur du caractère χ au point t de G est donnée par la formule :

Si l'on considère la matrice de ρ_t comme une matrice bloc correspondant à chaque ρ_tW, on remarque que seul, les blocs sur la diagonale modifient la trace. Notons C_t le sous ensemble de C des éléments c tel que ρ_cW soit stable par ρ_t, c'est-à-dire qu'ils correspondent aux matrices blocs de la diagonale. On obtient alors la formule, si Tr désigne trace :

On remarque que c est élément de C_t si et seulement si c^-1tc est un élément de H et donc :

Ce qui démontre la première formule. Pour la deuxième, il suffit de remarquer que tous les représentants d'une classe à gauche d'un élément de C_t possède une matrice d'endomorphisme de la forme θ(s^-1ts) dont la trace est égale à ψ(s^-1ts).

Il est possible de généraliser la fonction Ind_H^G à l'espace vectoriel des fonctions centrales de H de la manière suivante :

• Soit f une fonction centrale de H à valeur dans K et C un système de représentants des classes à gauche, alors la fonction Ind_H^G (f ) est définie de la manière suivante :

Cette définition permet de généraliser la formule de réciprocité de Frobenius.

Réciprocité de Frobenius

Démontrons alors la formule de réciprocité de Frobenius :

• Soit f une fonction centrale de H et g une fonction centrale de G, alors l'égalité suivante est vérifiée :

Les caractères des représentations forment une base de l'espace des fonctions centrales, il suffit donc de démontrer la formule pour les caractères. En termes de G-module, l'expression devient :

• Soit W un H-module et V un G-module, alors l'expression suivante est vérifiée :

Pour démontrer cette proposition remarquons que Hom^H (W, Res V) et Hom^G (Ind W, V) sont isomorphes (cf l'encart déroulant Démonstrations de l'article Représentation induite d'un groupe fini), leurs dimensions sont donc égales :

Or, ces dimensions correspondent exactement au produit scalaire des différentes représentations (cf le paragraphe Centre de l'algèbre de l'article Algèbre d'un groupe fini), ce qui termine la démonstration.