Sous-espace supplémentaire - Définition

Montrons que 1, 2, 3 sont équivalents, que (ainsi 1, 2, 3, 4, 5 seront équivalents), et que 6 équivaut, via 3, à tous les autres.

 : La définition de « F et G sont supplémentaires  » exprime exactement la bijectivité de l'application somme : la surjectivité correspond à l'existence, pour tout x, d'un couple (u,v), et l'injectivité, à l'unicité de (u,v).

 : la condition E = F + G exprime, à nouveau, la surjectivité de l'application somme. D'autre part, comme cette application est linéaire, elle est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul de l'espace produit F x G, c'est-à-dire au couple (0,0). Or ce noyau, a priori, est l'ensemble des (u,v) tels que u appartienne à F, v à G, et u+v=0. C'est donc l'ensemble des couples (u,-u) tels que u appartienne à F∩G, si bien qu'il est réduit à (0,0) si et seulement si F ∩ G = { 0 }.

 : Si l'application somme est un isomorphisme, notons, pour tout x de E, (p(x),q(x)) l'unique couple de FxG tel que p(x)+q(x)=x. Ainsi, p et q sont deux applications de E dans E, leur somme est l'identité, elles sont linéaires (car issues des deux composantes de l'isomorphisme réciproque), et l'image de p est incluse dans F (et celle de q, dans G). De plus, pour tout vecteur u de F, la décomposition u=u+0 montre que p(u)=u. On en déduit d'une part que l'image de p est F tout entier, et d'autre part, que sur cette image, p vaut l'identité. Par conséquent p est un projecteur d'image F. (De même, q est un projecteur d'image G.)

 : Si p et q sont deux projecteurs de somme l'identité alors le noyau de q est égal à l'image de p. En effet, , le dernier résultant du fait que p est idempotent.

est détaillé dans l'article Projecteur.

et même mieux : d'une part, si F+G=E alors la juxtaposition d'une famille génératrice de F et d'une famille génératrice de G engendre E ; d'autre part, si F ∩ G = { 0 } alors pour toutes familles libres de F et de G (supposées indexées par deux ensembles d'indices I et J disjoints), la famille est libre, car si alors, de et du fait que chacune des deux sous-famille est libre, on déduit que tous les λ_k sont nuls.

et même mieux : d'une part, s'il existe une famille de F et une famille de G dont la juxtaposition engendre E alors E=F+G ; d'autre part (par un calcul analogue au précédent) s'il existe une base de F et une base de G dont la juxtaposition soit libre alors F ∩ G = { 0 }.