Système de racines - Définition

Matrice de Cartan

Étant donné le système de racines simples (où r est le rang du système de racines) on définit la matrice de Cartan par

L'intérêt de la matrice de Cartan est que sa seule donnée est suffisante pour reconstruire l'ensemble de tout le système de racines. C'est donc une façon théorique et pratique très utile de coder l'ensemble de l'information contenue dans un système de racines. Pour représenter graphiquement la matrice de Cartan on utilise le concept de diagramme de Dynkin qu'on va maintenant aborder.

Systèmes de racines et théorie de Lie

Les systèmes de racines classent un nombre d'objets reliés dans la théorie de Lie, notamment :

• Les algèbres de Lie simples complexes
• Les groupes de Lie simples complexes
• Les groupes de Lie complexes simplement connexes qui sont simples modulo leur centre
• Les groupes de Lie compacts simples

Dans chaque cas, les racines sont les poids différents de zéro de la représentation adjointe.

Liste des systèmes de racines irréductibles

La table suivante liste certaines propriétés des systèmes de racines irréductibles. Les constructions explicites de ces systèmes sont données dans les parties suivantes.

			I
An	n(n+1)		n+1	(n+1)!
Bn	2n2	2n	2	2n n!
Cn	2n2	2n(n−1)	2	2n n!
Dn	2n(n−1)		4	2n−1 n!
E6	72		3	51 840
E7	126		2	2 903 040
E8	240		1	696 729 600
F4	48	24	1	1 152
G2	12	6	1	12

Ici désigne le nombre de racines courtes (si toutes les racines ont la même longueur, elles sont prises comme longues par définition), I désigne le déterminant de la matrice de Cartan, et | W | désigne l'ordre du groupe de Weyl, i.e. le nombre de symétries du système de racines.

A_n

Soit V, le sous-espace de pour lequel la somme des coordonnées égale 0, et soit , l'ensemble des vecteurs dans V de longueur et qui sont des vecteurs entiers, i.e. qui ont des coordonnées entières dans . Un tel vecteur doit avoir toutes ses coordonnées sauf deux égales à 0, une coordonnée égale à 1 et une égale à - 1, donc, il existe n² + n racines en tout.

B_n

Soit et soit constitué de tous les vecteurs entiers dans V de longueur 1 ou . Le nombre total de racines est 2n².

C_n

Soit et soit constitué de tous les vecteurs entiers dans V de longueur en même temps que tous les vecteurs de la forme , où est un vecteur entier de longueur 1. Le nombre total de racines est 2n².

D_n

Soit et soit constitué de tous les vecteurs entiers dans V de longueur . Le nombre total de racines est 2n(n − 1).

E₆, E₇, E₈

Soit . E₈ désigne l'ensemble des vecteurs de longueur tels que les coordonnées de soient toutes entières, toutes paires ou toutes impaires, et tels que la somme des 8 coordonnées soit paire.

En ce qui concerne E₇, il peut être construit comme l'intersection de E₈ avec l'hyperplan de vecteurs perpendiculaires à une racine fixée dans E₈.

Finalement, E₆ peut être construit comme l'intersection de E₈ avec deux tels hyperplans, correspondant aux racines et qui ne sont ni orthogonales à une autre, ni des multiples scalaires à une autre.

Les systèmes de racines E₆, E₇ et E₈ ont respectivemet 72, 126 et 240 racines.

F₄

Pour F₄, soit , et soit désignant l'ensemble de vecteurs de longueur 1 ou tel que les coordonnées de sont toutes entières et sont soit toutes paires ou toutes impaires. Il existe 48 racines dans ce système.

G₂

Il existe 12 racines dans G₂, qui forment les sommets d'un hexagramme. Voir l'image ci-dessus.