Hyperplan - Définition

Soit H un hyperplan de E. On cherche à construire une forme linéaire non nulle dont H est le noyau.

H est un hyperplan donc par définition il admet un supplémentaire dans E de dimension égale à 1. C'est donc une droite vectorielle engendrée par un (x_o ne peut être nul car il n'appartient pas à H qui contient 0). On a donc

Tout vecteur x de E se décompose donc de la façon suivante:

Posons une application qui a tout vecteur de E associe le scalaire associé à x_o dans sa décomposition suivant . Montrons alors que est linéaire: On prend deux vecteurs x et y quelconque de E qui se décomposent comme ci-dessus:

En prenant un scalaire quelconque on obtient:

Ce qui montre que est linéaire, de plus son ensemble d'arrivée est K, c'est donc bien une forme linéaire. De plus elle n'est pas nulle (par exemple x_o a pour image 1).

Prenons un . Par décomposition x_H = x_H + 0x_o donc et donc . On a donc .

Réciproquement, soit . Alors ce vecteur n'est pas engendré par x_o et donc appartient à H. On a donc et donc par double inclusion .

H est donc le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Réciproquement, soit une forme linéaire non nulle et H son noyau. Montrons que H est un hyperplan de E. Pour cela, on va montrer que H admet un supplémentaire de dimension 1.

est non-nulle, il existe donc un vecteur x_o de E non-nul tel que . Montrons alors que . Soit x dans E. Comme , on peut écrire la tautologie suivante:

Il est clair que car est bien dans K.

D'autre part:

Donc . Autrement dit, tout vecteur de E se décompose en somme d'un élément de la droite vectorielle engendrée par x_o et d'un élément du noyau H, ie E = H + x_oK. Montrons maintenant que cette somme est directe.

Soit . On peut donc écrire x = λx_o avec . Et donc . Mais comme x est dans H on a également . C'est-à-dire λ = 0 (car ) et donc x=0. D'où et la somme est directe.

Par conséquent, soit, par définition:

H est un hyperplan de E.