Théorème de Burnside (problème de 1902) - Définition
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Contexte
En 1902 William Burnside s'intéresse aux conjectures sur les groupes finis. Il pose en particulier la question générale suivante : un groupe de type fini, et dont tout élément est d'ordre fini, est-il fini ? Cette question prend le nom de problème de Burnside 1902, la date permettant de la différencier de sa non moins célèbre conjecture de 1911, résolue par Feit et Thompson.
Il pressent immédiatement la dificulté de cette question générale, et même de sa version bornée : un groupe de type fini et d'exposant fini est-il fini ? Dans l'article décrivant cette conjecture, il traite le cas où l'exposant n est égal à deux ou à trois. Le cas où n est égal à deux est relativement simple car le groupe est alors abélien. Il traite aussi le cas où n est égal à quatre et où le groupe est engendré par deux éléments.
En 1905 il démontre le théorème énoncé ci-dessus, ce qui met en évidence la difficulté de construire un contre-exemple à son problème : il faudrait, d'après son théorème, qu'un tel groupe n'ait aucune représentation fidèle de degré fini. En 1911, Issai Schur donne, pour le problème général de Burnside, la réponse partielle analogue : il démontre la finitude de l'image de toute représentation de degré fini d'un groupe de type fini dont tout élément est d'ordre fini.
Il faut attendre les travaux d'Efim Zelmanov pour trouver le premier contre-exemple à la version bornée du problème de Burnside. Il reçoit en 1994 la médaille Fields pour ce résultat. Le problème reste très généralement ouvert. En 2006 par exemple, personne ne sait s'il existe un groupe d'ordre infini d'exposant cinq avec deux générateurs.
