Théorie des ensembles de Morse-Kelley - Définition
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Discussion
J. Rubin en 1967, Monk en 1980, Mendelson en 1997, ont développé des travaux de théorie des ensembles basés sur le système MK. Ils avancent que ce système correspond à ce que l'on peut attendre d'une théorie des ensembles tout en étant plus maniable que les théories de Zermelo-Fraenkel et von Neumann-Bernays-Gödel.
La théorie de Morse-Kelley est strictement plus forte que ZFC et son extension conservative NBG. En fait, sa consistance entraîne celle de ces deux théories.
Mais si l'on ajoute à ZFC l'existence d'un cardinal fortement inaccessible, la consistance de la théorie ainsi obtenue entraîne celle de MK.
Le schéma de compréhension pour les classes ne se peut réduire à une liste finie d'axiomes du premier ordre : on dit que la théorie n'est pas fini-axiomatisable comme l'est par contre NBG.
L'axiome de limitation a pour conséquence l'axiome du choix, dans sa forme forte ; la classe V des ensembles peut être bien ordonnée. Comme dans NBG, c'est une classe propre. Rubin, Monk et Mendelson remplacent l'axiome de limitation par la conjonction de l'axiome du choix usuel et de l'axiome de substitution, lequel dans ce cadre exprime que si le domaine de définition D d'une fonction F est un ensemble, F(D) est aussi un ensemble.
La variante Rubin admet, en plus des classes propres et des ensembles, des uréléments, objets individuels dont le symbole ne peut se placer à droite du signe d'appartenance.
Historique
La théorie fut développée pour la première fois en 1955 par J.L. Kelley comme appendice de son ouvrage General Topology. Le système développé par Anthony Morse en 1965 dans A Theory of Sets est équivalent et exposé dans un langage formel très particulier se démarquant des notations standard de la logique du premier ordre.
