Théorie des ensembles de Morse-Kelley - Définition

Introduction

En mathématiques, la théorie des ensembles de Morse–Kelley est une théorie axiomatique du premier ordre dont les objets sont des classes ; contrairement à celle de Von Neumann-Bernays-Gödel, c'est une extension propre de la théorie classique.

Base axiomatique

Les deux théories, désignées par MK et NBG respectivement, partagent une même ontologie : l'univers du discours consiste en classes ; si une classe est élément d'autres elle est appelée «ensemble» sinon c'est une «classe propre» dont le symbole ne peut se placer à gauche du signe d'appartenance; les énoncés primitifs ont la forme de l'égalité [X=Y] ou de l'appartenance [x∈Y].

À l'exception du schéma de compréhension pour les classes, les axiomes de MK sont les mêmes que ceux de NBG, à quelques détails de formulation près. L'écriture obéit à certaines conventions :

• Les lettres majuscules autres que «M» dénotent des variables de classes quelconques ;

• Les lettres minuscules dénotent des variables d'ensembles ;

• Les expressions équivalentes «x est un ensemble», «il existe Y telle que x∈Y» s'abrègent en «M(x)» ou «Mx» ;

L'ensemble vide est défini par :

La classe universelle, que les Anglo-Saxons appellent « univers de Von Neumann », est définie par :

L'axiome d'extensionnalité affirme que deux classes qui ont les mêmes éléments sont égales :

L'axiome de fondation affirme que toute classe non vide est disjointe d'au moins un de ses éléments :

L'axiome de la paire permet l'existence d'un ensemble formé de n'importe quels deux éléments :

L'axiome de la réunion affirme que la classe des éléments des éléments d'un ensemble est un ensemble ; ici, l'on n'a pas besoin de postuler l'existence de cette classe, seulement qu'elle est un ensemble ; en effet son existence s'établit à partir du schéma de compréhension pour les classes ; il en résulte une formulation de l'axiome différente de celle de Zermelo, la variable s étant universellement – au lieu d'existentiellement – quantifiée :

L'axiome de l'ensemble des parties affirme que la classe des sous-ensembles d'un ensemble a est un ensemble ; la remarque faite plus haut en ce qui concerne la classe de réunion s'applique ici de la même manière, il y a ipso facto une classe des sous-ensembles de a, donc la variable p est universellement quantifiée :

L'axiome de l'infini affirme l'existence d'un ensemble y ayant pour membre Ø et tel que pour tout z, si z est élément de y il en est de même de zU{z}:

L' axiome de limitation affirme qu'un objet C est une classe propre si et seulement s'il existe une bijection de la classe universelle sur C :

On en vient maintenant au principe majeur de la théorie de Morse-Kelley : le schéma de compréhension pour les classes.

Soit φ(x) n'importe quelle formule du langage de MK dans laquelle la variable x est libre. Les paramètres de φ(x) peuvent être aussi bien des classes propres que des ensembles ; et les variables liées dans φ(x) peuvent être des variables de classes quelconques et non d'ensembles uniquement ; c'est par ce seul trait que MK diffère de NBG.

Alors il existe une classe Y :

dont les éléments sont exactement ceux pour lesquels φ(x) se trouve être vraie. Si Y n'est pas une variable libre dans φ(x) :