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Cercle trigonométrique

Pour la définition de cercle unité vous pouvez consulter le dictionnaire cercle unité.

En mathématiques, le cercle trigonométrique est le cercle de centre l'origine du plan euclidien \R^2 (ou du plan complexe) et de rayon 1.

Ce cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) est fréquemment utilisé en trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure »)...), et il est souvent orienté dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) direct ou sens trigonométrique, c'est-à-dire dans le sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) du sens de rotation des aiguilles d'une montre. Ce sens a été choisi par les astronomes parce qu'il correspond à la rotation de la Terre ; c'est-à-dire le sens dans lequel les étoiles semblent défiler pour un observateur sur Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par...).

Soit (x, y) un point (Graphie) de \R^2 situé dans le premier quadrant (En géométrie euclidienne : quart de la circonférence du cercle (lui-même divisé en 100 grades ou 90 degrés et leurs subdivisions respectives). Chacune des quatre portions du plan délimitées par un système de...) et appartenant au cercle trigonométrique (Pour la définition de cercle unité vous pouvez consulter le dictionnaire cercle unité.). x et y correspondent aux longueurs des côtés adjacents d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...) rectangle dont l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de...) est de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) égale au rayon du cercle, c’est-à-dire 1. Ainsi d'après le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des...), x et y sont liés par la relation

x^2 + y^2 = 1 \,\!

Puisque pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x, x2 = ( − x)2, la relation précédente reste valable pour tout point de coordonnées quelconques (c'est-à-dire pas nécessairement situé dans le premier quadrant.)

Réciproquement, tout point (x, y) de \R^2 tel que

x^2 + y^2 = 1 \,\!

appartient au cercle de centre (0, 0) et de rayon 1 et cette relation s'appelle l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) cartésienne du cercle trigonométrique.

Fonctions trigonométriques sur le cercle

Notons O=(0, 0). Soit (O, \vec{i},\vec{j}) un repère orthonormé de \mathbb{R}^2.

Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y), et \vec{u}=\overrightarrow{OM} son vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) associé. Si t, un réel, est une mesure de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) \left(\widehat{\vec{i},\vec{u}}\right) alors

\begin{cases}x = \cos(t) \\y = \sin(t)\end{cases}

Et l'équation cartésienne du cercle donne immédiatement une identité trigonométrique (Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles...) connue:

\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!

Le cercle trigonométrique peut aussi donner un moyen intuitif de réaliser que les fonctions sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles...) et cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) sont des fonctions périodiques, vérifiant les relations:

\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \cos(t) = \cos(k 2\pi+t)
\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \sin(t) = \sin(k2\pi+t).

Ces égalités s'interprètent par le fait que le point (x,y) reste le même après que nous ayons ajouté ou retranché un multiple entier de 2π et ainsi effectué plusieurs tours complets du cercle. Lorsqu'elles sont définies à partir d'un triangle rectangle, les valeurs des fonctions sinus, cosinus et d'autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre 0 et π/2, mais dans le cercle trigonométrique leurs valeurs prennent un sens en n'importe quel réel.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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