Cercle - Définition et Explications

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Introduction

Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...). Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) quelconque, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...).

D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, etc).

Pendant longtemps, le langage courant employait ce terme autant pour nommer la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) (circonférence) que la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) qu'elle délimite. De nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...), en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), le cercle désigne exclusivement la courbe ; la surface étant appelée disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...).

Le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) définit le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) pi.

Géométrie euclidienne

Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé
Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) et du cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...)
Un cercle est une section droite d'un cône de révolution.

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) du grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de...) est égale à la longueur du petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre...). C'est une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques,...) dont l'excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.) e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle unité ou cercle trigonométrique (Pour la définition de cercle unité vous pouvez consulter le dictionnaire cercle unité.) est le cercle dont le centre est l'origine du repère, et dont le rayon vaut 1.

Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...) et son axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en...) (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.

Définitions

définition d'objets géométriques liés au cercle
  • Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
  • Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.
  • Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde définis par deux mêmes points.
  • Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point (Graphie) du cercle.
  • Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r.
  • Un disque est une région du plan limitée par un cercle.
  • Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons.
  • Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle.

Propriétés géométriques

Voici quelques propriétés géométriques du cercle.

Mesures

La longueur d'un arc de rayon r sous-tendu par un angle α, exprimé en radians, est égale à αr. Ainsi, pour un angle de (un tour complet), la longueur du cercle vaut r.

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle α est égale à 2rsin(α / 2).

L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut πr2 ; si l'on prend une corde de longueur l donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour...) dont le pourtour serait délimité par une peau (La peau est un organe composé de plusieurs couches de tissus. Elle joue, entre autres, le...) de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

Tangente

Tangente perpendiculaire au rayon

La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme...) sphérique repart en sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points...)

La médiatrice d'une corde passe par le centre.

On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

Cercle et triangle rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...)

Triangle rectangle inscrit dans un cercle

Prenons trois points du cercle A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B.

Ceci découle du fait que la médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en...) de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté...) (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...) anglo-saxons le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème...).

Angle inscrit, angle au centre

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.

Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a

\widehat{AOB} = 2 \cdot \widehat{ACB}

Pour l'angle au centre \widehat{AOB}, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) à l'arc contenant C.

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale (L'analyse spectrale est une méthode utilisée en physique pour déterminer les caractéristiques...) par dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un...) de longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...), c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Points d'intersection avec une droite

Soit une droite (P1P2), ensemble des points P(x,y) tels que : P = P1 + k(P2P1).

(x1,y1) et (x2,y2) étant les coordonnées des 2 points P1 et P2 de la droite et k un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...),

les coordonnées (x,y) d'un point P de la droite sont données par les deux équations paramétriques :

x = x1 + k(x2x1),

y = y1 + k(y2y1).

Un cercle de centre I(x3,y3) et de rayon r est défini par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) (xx3)2 + (yy3)2 = r2. (C'est un simple calcul d'hypoténuse).

La substitution des coordonnées (x,y) d'un point de la droite dans l'équation du cercle donne une équation du deuxième degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) d'inconnue k. Le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour...) de la forme b2 − 4ac est donné par les coefficients :


a = (x2x1)2 + (y2y1)2,

b = 2{(x2x1)(x1x3) + (y2y1)(y1y3)},

c = x_3^2 + y_3^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_3x_1 + y_3y_1 )- r^2.

Trois cas pour b2 − 4ac :

  • Si b2 − 4ac < 0 : pas d'intersection :
  • Si b2 − 4ac = 0 : la droite est tangente en un point au cercle. Dans ce cas k = \frac{-b}{2a}
  • Si b2 − 4ac > 0 : il existe deux points d'intersection avec

k_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} et k_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Rapport des cercles inscrits

Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits.
  • Rayon R' des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon R et de surface S
    R' = \frac{R}{2}
  • Rayon R' et surface S' des 3 plus grands cercles inscrits
    R' = \frac{R}{1+\sqrt{\frac{4}{3}}}\qquad 3S' = \frac{S}{  \left(\frac{2+\sqrt[]{3}}{3}\right)^2}
  • Rayon R' et surface S' des 4 plus grands cercles inscrits
    R' = \frac{R}{1+\sqrt{2}} = R(\sqrt{2}-1)\qquad 4S'=\frac{S}{\frac{3+\sqrt{8}}{4}}
  • Rayon R' des 5 plus grands cercles inscrits
    R' = \frac{R}{1+\sqrt{2+\sqrt{\frac{4}{5}}}}
  • Rayon R' des 7 plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6)
    R' = \frac{R}{3}

Puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) d'un point par rapport à un cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a

MA\times MB = |OM^2 - R^2|.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M par rapport au cercle.

On peut remarquer que

  • si M est à l’extérieur du cercle,
    MA\times MB = OM^2 - R^2 ;
  • si M est à l’intérieur du cercle,
    OM^2 - R^2 = -MA\times MB ;
    ce produit correspond au produit des mesures algébriques MA et MB.

On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM2R2.

Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...) dans le triangle OMT, la puissance de M est MT2. L'égalité

MA\times MB = MT^2

est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

  • A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et
  • MA×MB = MC×MD (en mesures algébriques),

alors les quatre points sont cocycliques.

Équations

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C(a,b) et de rayon r est :

(xa)2 + (yb)2 = r2

cette équation est en fait une application du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας /...) pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle unité est donc

x2 + y2 = 1.

En mettant y en évidence, on obtient les équations cartésiennes du cercle :

y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2}.

Les équations paramétriques du cercle sont

\begin{cases}x=a+r \cos\theta \\ y=b+r \sin\theta\end{cases}

soit pour le cercle unité

\begin{cases}x=\cos\theta \\ y=\sin\theta\end{cases}

On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre [AB] :

(xxA)(xxB) + (yyA)(yyB) = 0,

soit encore

x2 + y2 − (xA + xB)x − (yA + yB)y + xAxB + yAyB = 0.

On peut enfin exprimer le rayon, la corde et la flèche selon deux d'entre eux :

C = 2\sqrt{F(2R - F)}
R = \frac{4F^2+C^2}{8F}
F = R - \sqrt{R^2 - \tfrac{C^2}4}
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