Sous-corps exotique de R
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Nous construisons ici un exemple de sous-corps indénombrable strict de \mathbb{R} à l'aide du lemme de Zorn (et donc de l'axiome du choix).

Soit E l'ensemble des sous-corps de \mathbb{R} ne contenant pas \sqrt{2}. E est non vide (car il contient par exemple \mathbb{Q}) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) inductif. D'après le lemme de Zorn (Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :) il possède donc un élément maximal K. La maximalité de K permet de montrer que l'extension K[\sqrt{2}] \to \mathbb{R} est algébrique; l'extension K \to \mathbb{R} l'est donc également, ce qui entraîne que K est indénombrable. Enfin, K est un sous-corps strict de \mathbb{R} car il ne contient pas \sqrt{2}. Notons que K[\sqrt{2}] est strictement inclus dans\mathbb{R}: dans le cas contraire, l'automorphisme de corps de K[\sqrt{2}] fixant les éléments de K et envoyant \sqrt{2} sur -\sqrt{2} serait un automorphisme de corps de \mathbb{R} autre que l'identité, ce qui est absurde.

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