Sous-corps exotique de R - Définition

Nous construisons ici un exemple de sous-corps indénombrable strict de à l'aide du lemme de Zorn (et donc de l'axiome du choix).

Soit E l'ensemble des sous-corps de ne contenant pas . E est non vide (car il contient par exemple ) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn il possède donc un élément maximal K. La maximalité de K permet de montrer que l'extension est algébrique; l'extension l'est donc également, ce qui entraîne que K est indénombrable. Enfin, K est un sous-corps strict de car il ne contient pas . Notons que est strictement inclus dans : dans le cas contraire, l'automorphisme de corps de fixant les éléments de K et envoyant sur serait un automorphisme de corps de autre que l'identité, ce qui est absurde.