Fonction gamma
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Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels
Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels

La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.

Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe
Tracé du module de la fonction gamma (La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.) sur le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.)

Pour z \in \mathbb C tel que Re(z)>0\,, on définit la fonction suivante :

\Gamma : z \mapsto \int_0^{+\infty}  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

Cette intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un...) converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive.

En intégrant par parties, on montre que :

\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z) \

Cette fonction peut être ainsi prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des nombres complexes, excepté pour z = 0,  −1, −2, −3, ... qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement "fonction gamma".

Autres définitions

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Weierstrass, ont un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}
\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

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