Fonction eta de Dedekind
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La fonction eta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la fonction eta est alors

\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})

La fonction eta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...).

La fonction eta vérifie les équations fonctionnelles :

η(τ + 1) = exp(2πi / 24)η(τ)
\eta(-1/\tau) = \sqrt {-i\tau} \eta(\tau)

Plus généralement,

\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) =  \epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(z)

a,b,c,d sont des entiers tels que ad-bc=1, qui sont donc associés à une transformation appartenant au groupe modulaire, et

\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left(  \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right)

s(h,k) est la somme de Dedekind

s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k}  \left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)

A cause des équations fonctionnelles, la fonction eta est une forme modulaire de poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la...) 1/2. On peut s' en servir pour définir d'autres formes modulaires. En particulier, le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise...) modulaire de Weierstrass peut être défini comme

Δ(τ) = (2π)12η(τ)24.

La fonction Δ est une forme modulaire de poids 12. Comme la fonction eta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions etas. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

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