Fonction polygamma
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En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est définie comme la m+1 -ième dérivée logarithmique de la fonction gamma :

\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dx}\right)^{m+1} \log\Gamma(z)

Ici,

\psi(z) =\psi^0(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\,

est la fonction digamma et \Gamma(z)\, est la fonction gamma (La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.).

Elle possède la relation de récurrence

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}\,

Elle est reliée à la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) d'Hurwitz

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)\,

La série de Taylor au point (Graphie) z=1 est

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty  (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,,

qui converge pour |z|<1. Ici, \zeta(n)\, est la fonction Zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) de Riemann.

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