On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif . On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme d'un produit de polynômes dont les degrés sont strictement inférieurs à celui de P.
Un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) n'admettant pas de factorisation (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) précédent) est dit irréductible ; c'est notamment le cas des polynômes de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 1. Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) classique est l'existence, sur un anneau factoriel, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polynôme non irréductible, d'une factorisation en produit de polynômes irréductibles ; cette factorisation est essentiellement unique, à permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à...) près des facteurs et aux inversibles près.
Des algorithmes de factorisation des polynômes (On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif . On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme...) à coefficients dans les corps finis sont connus, par exemple l'algorithme de Berlekamp.
Deux cas fréquents sont ceux des polynômes à coefficients dans et des polynômes à coefficients dans
.
Considérons le polynôme à coefficients dans
ou
.