Anneau factoriel - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) élément d'un anneau factoriel (En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et...) se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. Un élément irréductible est un élément qui, dans une décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en produit de deux facteurs, contient toujours un élément inversible. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, -2 est irréductible. La décomposition en facteurs irréductibles est unique dans un anneau factoriel, aux éléments inversibles près.

Les exemples d' anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal (Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important dans la théorie mathématique...) (c'est-à-dire dont tout idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) est principal) est factoriel. La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel k est toujours factoriel lui aussi, mais n'est principal que si l'anneau k est un corps. En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal.

Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...) s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division...) et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.

Définitions

Dans tout ce paragraphe, A désigne un anneau commutatif, unitaire et intègre. Le groupe des unités est constitué des éléments qui possèdent un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) dans A.

La notion d'anneau factoriel s'appuie sur les deux définitions :

  • Un élément non nul a de A est dit irréductible s'il n'est pas inversible et si toute décomposition en deux facteurs b et c de a, a = b.c comporte un élément inversible (soit b soit c).
  • Deux éléments a et b non nuls de A sont dit associés s'il existe un élément inversible u tel que a = u.b. Cette relation est une relation d'équivalence.

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) la plus courante d'anneau factoriel est :

  • A est dit factoriel s'il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Pour tout élément a de A, non nul et non inversible, il existe une suite finie p1, …, pn d'éléments irréductibles de A tels que :

a=p_1\cdots p_n\;

(2) La décomposition est unique à permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets...) près des pi et à produit près de ceux-ci par des éléments inversibles.

Exemple : L'anneau Z des entiers relatifs est factoriel. Ses éléments inversibles sont -1 et 1, donc deux entiers non nuls sont associés lorsqu'ils sont égaux ou opposés. Ses éléments irréductibles sont les entiers naturels premiers et leurs opposés. Tout élément non nul de Z se décompose en un produit d'éléments irréductibles. Par exemple, -28 se décompose en (-2).2.7. On pourrait aussi le décomposer par exemple en (-7).2.2 mais cette dernière décomposition est considérée comme la même que la première, car elle s'en déduit en permutant les facteurs et en les multipliant par des inversibles.

Certains anneaux possèdent des éléments irréductibles particuliers, ainsi un élément irréductible et positif de Z est appelé nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...). Dans K[X] (si K est un corps), les éléments particuliers sont les polynômes irréductibles unitaires, c'est-à-dire dont le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) du monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un...) dominant est égal à un. Chaque classe d'équivalence contient un unique élément irréductible particulier. Cette approche permet de normaliser la décomposition en facteurs irréductibles de telle sorte que l'unicité soit absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un...), et plus seulement à permutation et association près.

Il est toujours possible d'établir une normalisation de cette nature. Il suffit de définir une famille (pi) d'éléments irréductibles tel que si i est différent de j alors pi n'est pas associé à pj et si π est un élément irréductible il existe un indice i tel que π est associé à pi. L'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix montre qu'il est toujours possible de trouver une famille maximale d'éléments irréductibles deux à deux non associés : on prend un représentant par classe d'association d'éléments irréductibles. Cette normalisation est utilisée dans la suite de l'article : elle n'est pas nécessaire mais permet d'alléger les énoncés. Un élément a non nul d'un anneau factoriel s'écrit ainsi de façon unique :

a =u \prod_{i\in I}p_i^{v_{p_i}(a)}~,

u est un élément inversible. La fonction vpi, de A dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) N des entiers naturels, s'appelle une valuation p-adique. La valeur vpi(a) est aussi appelée ordre de multiplicité de pi dans a.

Dans la suite de l'article A désigne un anneau factoriel et (pi) une telle famille d'éléments irréductibles (sauf mention explicite contraire).

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