Quaternions d'Hurwitz
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Definition

Quaternions

Soit \mathbb{A} un anneau. On definit l'algèbre des quaternions \mathbb{H}(\mathbb{A}) comme le \mathbb{A}-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

  • 1 élement neutre pour la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .)
  • i^2=j^2=k^2=-1\,
  • et les identités:
    • i=j\cdot k=-k\cdot j\,
    • j=k\cdot i=-i\cdot k\,
    • k=i\cdot j=-j\cdot i\,

Quaternions d'Hurwitz

Soit \mathbb{H}(\mathbb{Z}), l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) des quaternions sur l'anneau \mathbb{Z}. On définit les Quaternions d'Hurwitz \tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z}) comme suit:

\tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z})=\mathbb{H}(\mathbb{Z}) \cup         \left ( \frac{1+i+j+k}{2}+ \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \right)

On peut aussi definir les Quaternions d'Hurwitz comme:

les Quaternions d'Hurwitz sont un sous-anneau de \mathbb{H}(\mathbb{R}), dont les éléments: a + b.i + c.j + d.k\, sont tels que 2a, 2b, 2c et 2d sont entiers ((2a,2b,2c,2d) \in \mathbb{Z}^4\,).

Propriétés

Les Quaternions d'Hurwitz forment un anneau euclidien à gauche et à droite.

Un anneau \mathbb{A} est dit euclidien si

  • \mathbb{A}\, est intègre
  • \mathbb{A}\, est muni d'une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...) euclidienne i.e. il existe une application v telle que:

\begin{matrix}  \forall a \in \mathbb{A}, \forall b \in \mathbb{A}-\left\{0\right\}, \exists (r,q) \in \mathbb{A}^2 \\  a=b\times q + r \wedge ( r=0 \vee v(r) < v(b) ) \end{matrix}

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