Anneau euclidien - Définition et Explications

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Introduction

Euclide (Juste de Gand, vers 1474)

En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire intègre.

Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...).

Cette propriété est riche de conséquences : un anneau euclidien (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la...) est toujours principal, il vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...), il est factoriel et satisfait les conditions du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). On retrouve ainsi tous les résultats de l'arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...) et plus spécifiquement de l'arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...), mais dans un cadre plus général.

L'anneau euclidien le plus classique est celui des entiers, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou encore un autre anneau, permettant de bâtir une arithmétique liée au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'or et explicative de nombreuses propriétés de cet irrationnel. L'anneau des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes, et plus généralement dans n'importe quel corps commutatif est aussi euclidien, donnant ainsi naissance à une arithmétique des polynômes (En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des...).

Histoire

Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Origine

La première référence ayant influencé le monde (Le mot monde peut désigner :) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) sur la question de la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) euclidienne est le livre VII, des Éléments d'Euclide datant d'environ 300 ans avant J.-C.. On y trouve la première définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d'Arithmétique. Elle traite essentiellement des questions portant sur les nombres entiers.

Certains mathématiciens comme Diophante d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte :...) puis, bien plus tard, Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIe siècle, à...) comprennent la richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le petit théorème de Fermat et formulent des conjectures comme le théorème des deux carrés de Fermat ou le grand théorème de Fermat. Un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) théorique important est l'analyse des propriétés du reste de la division euclidienne des membres d'une égalité d'entiers. Au XVIIIe siècle, certaines conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...) sont démontrées. On peut citer Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le...) avec le théorème des deux carrés ou le cas n égal à trois du grand théorème de Fermat, presque traité en 1753. D'autres conjectures comme celle de la loi de réciprocité quadratique apparaissent. Ces résultats sont pour l'essentiel démontrés grâce à la virtuosité des mathématiciens, mais l'apport théorique est faible, en conséquence les résultats sont peu généralisables.

Émergence du concept

Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...)

En 1801, Carl Friedrich Gauss étudie le premier anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux...)'entiers algébriques, celui des entiers qui portent maintenant son nom. Cet anneau possède l'équivalent d'une division euclidienne dans Z. En conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. De même, l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, dispose aussi d'une division euclidienne. Gauss y construit une arithmétique analogue aux précédentes. Ainsi, la division euclidienne n'apparaît plus comme une spécificité des nombres relatifs mais un algorithme qui s'applique à diverses ensembles munis d'une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) et d'une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...).

Cette approche est utilisée pour d'autres entiers algébriques, par exemple par Ferdinand Eisenstein qui découvre l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres appelés entiers d'Eisenstein et qui dispose d'une division euclidienne.

L'apport d'une division euclidienne à une structure est une démarche féconde. Gauss s'en sert pour une de ses démonstrations de la loi de réciprocité quadratique et des progrès tangibles sont réalisés vers la résolution du grand théorème de Fermat. Le cas n égal à trois devient parfaitement rigoureux. Les cas n égal à cinq, puis quatorze, puis sept, sont démontrés, avec l'apport massif (Le mot massif peut être employé comme :) d'autres idées. L'application de la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en facteurs premiers aux polynômes cyclotomiques permet à Gauss de trouver un nouveau polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) régulier constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une...) à la règle et au compas, l'heptadécagone ou polygone régulier à dix-sept côtés.

L'idée est suffisamment novatrice et fructueuse pour que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique soient parfois rebaptisés lemme de Gauss et théorème de Gauss. Le livre d'arithmétique de Gauss vaut rapidement à son auteur, le surnom de prince des mathématiciens.

Formalisation

Paradoxalement la formalisation moderne provient des limitations des arithmétiques précédentes. Par une démarche utilisant la notion d'anneau d'entiers, Gabriel Lamé pense qu'il a démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer montre par un exemple en 1844 qu'un anneau d'entiers ne dispose pas, en général, d'une décomposition unique en facteurs premiers. Ce résultat invalide la preuve de Lamé. Kummer découvre en 1846 un nouveau concept qu'il baptise nombre complexe idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) pour retrouver sous une nouvelle forme l'unicité nécessaire.

Ces travaux ouvrent la voie à la formalisation de la structure d'anneau. On peut citer Richard Dedekind et David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...) parmi les principaux contributeurs. Un anneau euclidien devient un cas particulier simple d'une vaste théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...), la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.). Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...), l'anneau euclidien est un cas spécifique d'anneau commutatif unitaire et intègre. Il entre dans la sous-famille des anneaux factoriels et plus précisément des anneaux principaux, un cas particulier d'anneau factoriel (En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et...). Les anneaux d'entiers étudiés par Kummer entrent dans une famille différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...), celle des anneaux de Dedekind.

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