Homotopie - Définition

En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de " déformation continue " d'un objet vers un autre.

Homotopie entre fonctions

On se donne deux espaces topologiques et . Deux fonctions continues sont dites homotopes (dans ) s'il existe une application continue telle que :

Autrement dit, selon les valeurs du paramètre , la fonction passe continûment de (pour ) à (pour ). Chaque valeur du paramètre correspond à une fonction :

" située entre et  ".

Une autre manière de le voir est que pour chaque , la fonction définit un chemin reliant à  :

Exemple 1 : On prend , , et . Alors et sont homotopes dans via la fonction continue :

(à noter que dans cet exemple rien ne dépend de la variable ce qui est exceptionnel...).

NB : La mention " homotope dans  " peut s'avérer très importante ; en effet dans l'exemple précédent si on remplace par le sous-espace , et sont toujours à valeurs dans mais elles ne sont pas homotopes dans , car il n'existe pas de fonction continue reliant à dans (voir le théorème des valeurs intermédiaires).

Exemple 2 : On prend , , et . décrit un cercle de rayon unité autour de l'origine ; reste à l'origine. Alors et sont homotopes via la fonction continue :

(pour chaque valeur de la fonction décrit un cercle de rayon autour de l'origine).

L'homotopie des fonctions est une relation d'équivalence sur l'ensemble des applications continues de vers . Une des premières applications de l'homotopie est la définition de la connexité simple via l'homotopie des lacets.

Équivalence homotopique entre espaces topologiques

La définition de l'homotopie entre deux espaces peut paraître abstraite, mais elle correspond à l'idée très simple de déformation continue.

Étant donné deux espaces topologiques et , on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents (ou " de même type d'homotopie ") si et seulement s’il existe deux applications continues et telles que :

• est homotope à l'identité de  ;
• est homotope à l'identité de .

On parlera plus souvent d'équivalence homotopique entre deux parties d'espaces topologiques.

Deux espaces topologiques homéomorphes sont homotopiquement équivalents mais la réciproque est fausse en général, comme le montrent les exemples suivants.

Exemples :

• Un cercle, une ellipse sont homotopiquement équivalents à c'est-à-dire un plan privé d'un point.
• Un segment , un disque fermé ou une boule fermée sont homotopiquement équivalents entre eux, et homotopiquement équivalents à un point.

L'équivalence homotopique est une relation d'équivalence entre espaces topologiques. Diverses propriétés importantes en Topologie algébrique sont conservées par équivalence homotopique, parmi lesquelles : la connexité simple, la connexité par arcs, les groupes d'homologie et de cohomologie...

Isotopie

L' isotopie est un raffinement de l'homotopie ; dans le cas où les deux applications continues et sont des homéomorphismes on peut vouloir passer de à , non seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.

On dira donc que et sont isotopes si et seulement s’il existe une application continue telle que :

• 
• 
• pour tout l'application partielle est un homéomorphisme.

La fonction est définie par .

La notion d'isotopie est notamment importante en théorie des nœuds : deux nœuds sont considérés identiques s'ils sont homotopes, c'est-à-dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la " corde " se déchire ou se pénètre.