En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de " déformation continue " d'un objet vers un autre.
On se donne deux espaces topologiques et . Deux fonctions continues sont dites homotopes (dans ) s'il existe une application continue telle que :
Autrement dit, selon les valeurs du paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) , la fonction passe continûment de (pour ) à (pour ). Chaque valeur du paramètre correspond à une fonction :
" située entre et ".
Une autre manière de le voir est que pour chaque , la fonction définit un chemin reliant à :
Exemple 1 : On prend , , et . Alors et sont homotopes dans via la fonction continue :
(à noter que dans cet exemple rien ne dépend de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) ce qui est exceptionnel...).
Exemple 2 : On prend , , et . décrit un cercle de rayon unité autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de l'origine ; reste à l'origine. Alors et sont homotopes via la fonction continue :
(pour chaque valeur de la fonction décrit un cercle de rayon autour de l'origine).
L'homotopie (L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de...) des fonctions est une relation d'équivalence sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des applications continues de vers . Une des premières applications de l'homotopie est la définition de la connexité simple (En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace...) via l'homotopie des lacets.
La définition de l'homotopie entre deux espaces peut paraître abstraite, mais elle correspond à l'idée très simple de déformation continue.
Étant donné deux espaces topologiques et , on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents (ou " de même type d'homotopie ") si et seulement s’il existe deux applications continues et telles que :
On parlera plus souvent d'équivalence homotopique entre deux parties d'espaces topologiques.
Deux espaces topologiques homéomorphes sont homotopiquement équivalents mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse en général, comme le montrent les exemples suivants.
Exemples :
L'équivalence homotopique est une relation d'équivalence entre espaces topologiques. Diverses propriétés importantes en Topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des...) sont conservées par équivalence homotopique, parmi lesquelles : la connexité simple, la connexité par arcs, les groupes d'homologie et de cohomologie...
L' isotopie est un raffinement (En informatique, le raffinement consiste à avoir une approche de conception où on affine à...) de l'homotopie ; dans le cas où les deux applications continues et sont des homéomorphismes on peut vouloir passer de à , non seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.
On dira donc que et sont isotopes si et seulement s’il existe une application continue telle que :
La fonction est définie par .
La notion d'isotopie est notamment importante en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des nœuds : deux nœuds sont considérés identiques s'ils sont homotopes, c'est-à-dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la " corde " se déchire ou se pénètre.