Homotopie
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En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de " déformation continue " d'un objet vers un autre.

Homotopie entre fonctions

Homotopie entre deux chemins

On se donne deux espaces topologiques X \,\! et Y \,\!. Deux fonctions continues f , \, g \, : \, X \rightarrow Y \,\! sont dites homotopes (dans Y \,\!) s'il existe une application continue H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\! telle que :

  • \forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!
  • \forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!

Autrement dit, selon les valeurs du paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) t \,\!, la fonction H \,\! passe continûment de f \,\! (pour t=0 \,\!) à g \,\! (pour t=1 \,\!). Chaque valeur du paramètre t \,\! correspond à une fonction :

h_t \, : \, X \rightarrow Y, \, x \mapsto H(x,t) \,\!

" située entre f \,\! et g \,\! ".

Une autre manière de le voir est que pour chaque x \in X \,\!, la fonction H \,\! définit un chemin \gamma_x \,\! reliant f(x) \,\! à g(x) \,\! :

\gamma_x \, : \, [0,1] \rightarrow Y, \, t \mapsto H(x,t) \,\!

Exemple 1 : On prend X = \R \,\!, Y = \R \,\!, f(x) = 1 \,\! et g(x) = -1 \,\!. Alors f \,\! et g \,\! sont homotopes dans Y \,\! via la fonction continue :

H(x,t) = 1 - 2t \,\!

(à noter que dans cet exemple rien ne dépend de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une...) x \,\! ce qui est exceptionnel...).

NB : La mention " homotope dans Y \,\! " peut s'avérer très importante ; en effet dans l'exemple précédent si on remplace Y = \R \,\! par le sous-espace Y' = \R^* \,\!, f \,\! et g \,\! sont toujours à valeurs dans Y' \,\! mais elles ne sont pas homotopes dans Y' \,\!, car il n'existe pas de fonction continue reliant -1 \,\! à 1 \,\! dans \R^* \,\! (voir le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des valeurs intermédiaires).

Exemple 2 : On prend X = [0,1] \,\!, Y = \mathbb{C} \,\!, f(x) = e^{2i \pi x} \,\! et g(x) = 0 \,\!. f \,\! décrit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) de rayon unité autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) de l'origine ; g \,\! reste à l'origine. Alors f \,\! et g \,\! sont homotopes via la fonction continue :

H(x,t) = (1-t)e^{2i \pi x} \,\!

(pour chaque valeur de t \,\! la fonction h_t(x)=H(x,t) \,\! décrit un cercle de rayon 1-t \,\! autour de l'origine).

L'homotopie (En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de « déformation continue » d'un objet vers un autre.) des fonctions est une relation d'équivalence sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) \mathcal{C}(X,Y) \,\! des applications continues de X \,\! vers Y \,\!. Une des premières applications de l'homotopie est la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la connexité simple (En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul...) via l'homotopie des lacets.

Équivalence homotopique entre espaces topologiques

La définition de l'homotopie entre deux espaces peut paraître abstraite, mais elle correspond à l'idée très simple de déformation continue.

Étant donné deux espaces topologiques E \,\! et F \,\!, on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents (ou " de même type d'homotopie ") si et seulement s’il existe deux applications continues f \, : \, E \rightarrow F \,\! et g \, : \, F \rightarrow E \,\! telles que :

  • g \circ f \,\! est homotope à id_E \,\! l'identité de E \,\! ;
  • f \circ g \,\! est homotope à id_F \,\! l'identité de F \,\!.

On parlera plus souvent d'équivalence homotopique entre deux parties d'espaces topologiques.

Deux espaces topologiques homéomorphes sont homotopiquement équivalents mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse en général, comme le montrent les exemples suivants.

Exemples :

  • Un cercle, une ellipse sont homotopiquement équivalents à \mathbb{C}^* \,\! c'est-à-dire un plan privé d'un point (Graphie).
  • Un segment [a,b] \,\!, un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) fermé ou une boule fermée sont homotopiquement équivalents entre eux, et homotopiquement équivalents à un point.

L'équivalence homotopique est une relation d'équivalence entre espaces topologiques. Diverses propriétés importantes en Topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à...) sont conservées par équivalence homotopique, parmi lesquelles : la connexité simple, la connexité par arcs, les groupes d'homologie et de cohomologie...

Isotopie

L' isotopie est un raffinement (En informatique, le raffinement consiste à avoir une approche de conception où on affine à chaque étape le niveau de détails ; le but étant d'atteindre le niveau de granularité. On appelle...) de l'homotopie ; dans le cas où les deux applications continues f \, : \, X \rightarrow Y \,\! et g \, : \, X \rightarrow Y \,\! sont des homéomorphismes on peut vouloir passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de f \,\! à g \,\!, non seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.

On dira donc que f \,\! et g \,\! sont isotopes si et seulement s’il existe une application continue H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\! telle que :

  • \forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!
  • \forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!
  • pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) t \in [0,1] \,\! l'application partielle h_t \,\! est un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux...).

La fonction h_t \,\! est définie par \forall x \in X, \, h_t(x) = H(x,t) \,\!.

La notion d'isotopie est notamment importante en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est...) des nœuds : deux nœuds sont considérés identiques s'ils sont homotopes, c'est-à-dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la " corde " se déchire ou se pénètre.

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