Homotopie - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Les deux jeux de lettres : bleu et rouge, peuvent être définis par des fonctions homotopes.

L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de déformation continue d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) à un autre. Deux lacets sont dit homotopes lorsqu'il est possible de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) continument de l'un à l'autre, comme illustré sur la figure de droite. Ce concept se généralise à bien d'autres objets que des lacets. Ainsi, les fonctions définissant les deux jeux de lettres de droite (les bleues et les rouges) sont aussi homotopiques.

L'homotopie (L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de...) fournit des informations sur la nature topologique d'un espace. Une bande circulaire d'un plan ne peut être équivalente, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de l'homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est...), à un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...). Dans un disque, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) lacet est homotope à un point (Graphie). Dans une bande circulaire, ce n'est pas le cas. Cette remarque est source de démonstrations, comme celle du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de d'Alembert-Gauss, du point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E...) de Brouwer, de Borsuk-Ulam ou encore celle du théorème du sandwich au jambon, qui précise que quels que soient deux solides mesurables et bornés d'un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) trois, il existe un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) qui sépare chacun des solides en deux parties de mesures égales.

Définition

Homotopie entre deux chemins

Les deux chemins γ0 et γ1 sont strictement homotopes.

Soit X un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...). Un chemin continu de X est une application continue du segment réel [0, 1] dans X. Cette définition correspond à l'idée intuitive de chemin, au sens de sentier qui part d'un point pour arriver à un autre.

Deux chemins continus γ0 et γ1 de X sont dits homotopes lorsqu'il existe une application continue H de [0, 1]2 dans X tel que l'application qui à t associe H(t, 0) est égale à γ0 et celle qui à t associe H(t, 1) est égale à γ1 .
\forall t \in [0,1]\quad H(t,0) = \gamma_0(t)\text{ et } H(t,1) = \gamma_1(t)

Cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) ne décrit pas encore exactement la situation représentée à droite. Sur l'illustration, les deux chemins γ0 et γ1 possèdent la même origine x ainsi que la même extrémité y. C'est-à-dire :

\gamma_0(0) = \gamma_1(0) = x \text { et } \gamma_0(1) = \gamma_1(1) = y\;
Deux chemins continus γ0 et γ1 de X ayant même origine et même extrémité, sont dits homotopes strictement lorsqu'ils sont homotopes d'homotopie H et que, pour tout s élément de [0, 1] on dispose des égalités H(0, s) = x et H(1, s) = y.
\forall s \in [0,1]\quad H(0,s) = x\text{ et } H(1,s) = y

Homotopie entre deux fonctions

Les définitions précédentes se généralisent à deux fonctions continues f et g d'un espace topologique X dans un espace topologique Y.

Les deux fonctions f et g sont dites homotopes, d'homotopie H, si H est une fonction continue de X × [0, 1] dans Y tel que l'application qui à t associe H(t, 0) est égale à f et celle qui à t associe H(t, 1) est égale à g.

Il est possible de généraliser la deuxième définition. Soit A un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de X tel que les restrictions de f et de g à A soient égales.

Les deux fonctions f et g sont dites homotopes relativement à A si f et g sont homotopes, d'homotopie H et que :
\forall s \in [0,1],\; \forall a \in A \quad H(a,s) = f(a) = g(a)

Usages

Théorème de d'Alembert-Gauss

L'homotopie est source de nombreuses démonstrations. Un exemple célèbre est celui du théorème de d'Alembert-Gauss qui indique que tout polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) à coefficients complexes et non constant admet au moins une racine dans C.

Pour le démontrer, on considère un polynôme unitaire p(z) n'ayant aucune racine dans C et on note n son degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...). Pour chaque réel positif r, on définit le lacet αr par :

\forall t \in [0,1]\quad \alpha_r(t) = \frac {p(r\exp(2\pi i \cdot t))/p(r)}{|p(r\exp(2\pi i \cdot t))/p(r)|}

Par définition, αr est un lacet défini sur le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...). Si r est égal à 0, on obtient le lacet constant égal à 1. Comme la fonction, qui à r et t associe αr(t) est continue, tous les lacets αr sont homotopes à un point.

Soit (aj) la suite presque nulle des coefficients de p et ρ un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) plus grand que 1 et que Σ|aj| la somme des valeurs absolues des coefficients de p. Si z est un nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...) de module égal à ρ :

(1)\quad |z^n| = \rho^n > (|a_0| + \cdots + |a_{n-1}|)\rho^{n-1} \ge |a_0 + a_1z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1}|

On définit le polynôme ps(z) et le lacet βs par :

p_s(z) = s(a_0 + a_1z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1}) + z^n,\quad \forall t \in [0,1]\quad \beta_s(t) = \frac {p_s(\rho\exp(2\pi i \cdot t))/p_s(\rho)}{|p_s(\rho\exp(2\pi i \cdot t))/p_s(\rho)|}

La majoration (1) montre que le polynôme ps n'admet pas de racine de module ρ et le lacet βs est bien défini. Si s est égal à 0, le lacet β0 fait n tours autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de l'origine, d'après le paragraphe précédent. Comme la fonction si à s et t associe βs(t) est continue, le lacet β1 est homotope à β0. Or le lacet β1 est égal au lacet αρ. Comme le lacet αρ est homotope à un point c'est-à-dire qu'il fait 0 tour autour de l'origine, n est égal à 0. Autrement dit, les seuls éventuels polynômes n'ayant pas de racine dans C sont les polynômes constants.

Groupe fondamental (En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe...)

Si X est un espace topologique, on peut composer deux lacets de même base p (c'est-à-dire de même origine et même extrémité p) α1 et α2 en construisant un lacet parcourant d'abord la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) de α1, puis celle de α2. Cette composition est compatible avec la relation d'équivalence est homotope à. Quotienté par cette relation d'équivalence, on obtient une structure de groupe appelé groupe fondamental ou groupe de Poincaré. Cette notion se généralise et permet de définir une infinité de groupes d'homotopie.

Ce groupe est à l'origine de démonstrations. L'une des plus célèbres est celle du théorème du point fixe de Brouwer en dimension deux, qui indique que toute application continue du disque dans lui-même admet un point fixe.

Topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des...)

Si trois fermés recouvrent une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...), l'un au moins contient deux points antipodaux.
Collier-volé.jpg

L'homotopie est l'un des outils essentiels de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...) algébrique. Le cas le plus simple, celui des lacets est la source de nombreuses démonstrations dans ce domaine. En plus du théorème de d'Alembert-Gauss ou de celui du point fixe de Brouwer, celui de Borsuk-Ulam est caractéristique d'une démarche de la topologie algébrique. En dimension deux, il indique que toute application continue de la sphère dans R2 admet deux points antipodaux de même image. Autrement dit, il existe toujours sur terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) deux points situés aux antipodes ayant exactement la même température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...) et la même pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...). Il permet de résoudre par l'affirmative quelques questions célèbres comme celle du sandwich au jambon : Existe-il un plan qui coupe trois solides bornés et mesurables (correspondant à deux tartines de pain et une tranche de jambon) en deux parties de volumes égaux pour les trois solides. Les raisonnements de topologie algébrique faisant usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de l'homotopie permettent aussi de démontrer que si trois fermés ont pour union la sphère, l'un d'entre eux au moins contient deux points antipodaux. On peut citer encore la question du partage du collier et des deux voleurs : un collier, illustré à gauche, est formé de deux types de perles différentes, chaque type contient un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de perles paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...). Une fois encore, l'homotopie permet de montrer qu'il est possible de couper le colliers en deux coups de ciseaux tel que chaque côté contient le même nombre de perles pour chacun des deux types. Elle permet de trouver l'axe de coupe violet (Le violet est une couleur, composée d'un mélange de bleu (environ 50% de luminosité) et de rouge...), une petite rotation permet de passer à l'axe de coupe rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...), qui garde intact les perles.

Page générée en 0.161 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique