Topologie algébrique - Définition et Explications

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La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de la théorie des catégories (La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et les relations...).

Invariants algébriques

L'idée fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) est de pouvoir associer à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) algébrique (groupe, espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...), ...), de sorte qu'à deux espaces homéomorphes sont associés deux structures isomorphes. De tels objets sont appelés des invariants algébriques. En termes savants, il s'agit d'étudier des foncteurs depuis la catégorie des espaces topologiques sur une catégorie algébrique, comme les catégories de groupes, algèbres, groupoïdes, etc. Des résultats de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...) passent alors par la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) plus abordable de propriétés algébriques.

Parmi les invariants notables, citons :

  • Le groupe fondamental (En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe...) d'un espace topologique X en un point (Graphie) x : l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des classes d'homotopie (L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de...) des lacets de X de base x, la loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux...) étant la concaténation (Le terme concaténation (substantif féminin), du latin cum (« avec »)...) des lacets.
  • Les groupes d'homotopie supérieure d'un espace topologique X en un point x.
  • Les groupes d'homologie ou de cohomologie d'un espace topologique X.
  • Les classes caractéristiques d'un fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé...) vectoriel réel, complexe, euclidien, ou hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...).

Applications

  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Brouwer : toute application continue du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) unité de \mathbb{R}^n dans lui-même admet un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E...).
  • Le théorème de la boule chevelue : tout champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) continu de vecteurs tangents à une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...) s'annule en au moins un point.
  • Le théorème de Borsuk-Ulam : toute application Sn dans \mathbb{R}^n prend la même valeur en deux points antipodaux. Par exemple, à tout instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...), il existe deux points à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) diamètralement opposés ayant même température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...) et même pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...).


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