La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de la théorie des catégories (La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et les relations...).
L'idée fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) est de pouvoir associer à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) algébrique (groupe, espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...), ...), de sorte qu'à deux espaces homéomorphes sont associés deux structures isomorphes. De tels objets sont appelés des invariants algébriques. En termes savants, il s'agit d'étudier des foncteurs depuis la catégorie des espaces topologiques sur une catégorie algébrique, comme les catégories de groupes, algèbres, groupoïdes, etc. Des résultats de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations...) passent alors par la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) plus abordable de propriétés algébriques.
Parmi les invariants notables, citons :
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