Topologie algébrique

La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des catégories.

Invariants algébriques

L'idée fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) est de pouvoir associer à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) algébrique (groupe, espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.), ...), de sorte qu'à deux espaces homéomorphes sont associés deux structures isomorphes. De tels objets sont appelés des invariants algébriques. En termes savants, il s'agit d'étudier des foncteurs depuis la catégorie des espaces topologiques sur une catégorie algébrique, comme les catégories de groupes, algèbres, groupoïdes, etc. Des résultats de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) passent alors par la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) plus abordable de propriétés algébriques.

Parmi les invariants notables, citons :

  • Le groupe fondamental d'un espace topologique X en un point (Graphie) x : l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) des classes d'homotopie (En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de « déformation continue » d'un objet vers un autre.) des lacets de X de base x, la loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces...) étant la concaténation (Le terme concaténation est issu du latin cum (avec) et catena (chaîne), il désigne l'action de mettre bout à bout deux chaînes.) des lacets.
  • Les groupes d'homotopie supérieure d'un espace topologique X en un point x.
  • Les groupes d'homologie ou de cohomologie d'un espace topologique X.
  • Les classes caractéristiques d'un fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace appelé base,...) vectoriel réel, complexe, euclidien, ou hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.).

Applications

  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Brouwer : toute application continue du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet —...) unité de \mathbb{R}^n dans lui-même admet un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.).
  • Le théorème de la boule chevelue : tout champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) continu de vecteurs tangents à une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) s'annule en au moins un point.
  • Le théorème de Borsuk-Ulam : toute application Sn dans \mathbb{R}^n prend la même valeur en deux points antipodaux. Par exemple, à tout instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.), il existe deux points à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...) diamètralement opposés ayant même température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud,...) et même pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.).


Articles de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...)
Géométrie - Géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les notions de...) - Géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les...) - Géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.) - Géométrie hyperbolique - Géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.) - Géométrie synthétique - Programme d'Erlangen - Géométrie du XXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et...) - Topologie différentielle - Topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus...) - Géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une...) - Géométrie riemannienne - Géométrie symplectique - Géométrie algébrique
Accéder au portail de la géométrie


Domaines des mathématiques
Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) • Algèbre commutative • Algèbre homologique • Algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...) • Analyse • Analyse réelle • Analyse complexe • Analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a...) • Analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) • Calcul quantique • Combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les...) • Géométrie • Géométrie algébrique • Géométrie différentielle • Géométrique métrique • Géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend...)Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que...) • Probabilités • Statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de les...) • Systèmes dynamiques • Théorie des nombres •Théorie de Galois • Théorie des groupes • Topologie • Topologie algébrique
Page générée en 0.125 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique