Arrangement avec répétition
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Un arrangement avec répétition en mathématiques, se produit lorsque nous rangeons dans un certain ordre k objets, choisis parmi n objets discernables, chaque objet pouvant être répété, nous pouvons représenter les différents rangements par des k-uplets (ou des k-listes). Par exemple, quand nous tirons successivement avec remise k boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, nous pouvons représenter ces tirages par des k-listes de boules ou par des applications de {1, 2, ..., k} dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des boules.

Il y a plusieurs définitions d'un arrangement (La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les dénombrements en analyse combinatoire.) avec répétition.

Définition :

Étant donnés un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) E de cardinal n (n ∈ ??) et k un entier naturel, un k-arrangement avec répétition d'éléments de E, ou arrangement avec répétition de n éléments pris k à k, est un k-uplet d'éléments de E. Un tel k-uplet est aussi appelé une k-liste d'éléments de E.

Définition :

Étant donnés un ensemble fini E de cardinal n (n ∈ ??) et k un entier naturel, un k-arrangement avec répétition d'éléments de E, est une application de {1, 2, ..., k} dans E.

Nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'arrangements avec répétition

Théorème :

Soient E un ensemble fini de cardinal n (n ∈ ??) et k un entier naturel. L'ensemble des arrangements avec répétition est fini et son cardinal est égal à nk.

Démonstration :

  • Cas où un arrangement avec répétition est un kuplet.
    L'ensemble des k-arrangements avec répétition de E n'est autre que Ek=E × E × E × ... × E (k fois) et
\rm{card}(E^k)=\left(\rm{card}(E)\right)^k=n^k.
  • Cas où un arrangement avec répétition est une application de {1, 2, ..., k} dans E.
    Pour construire une application de {1, 2, ..., k} dans E, il suffit de
    • choisir l'image de 1 et il y a n choix possibles,
    • choisir l'image de 2 et il y a encore n choix possibles,
    • etc.
    • et enfin choisir l'image de k et il y a toujours n possibilités.
D'où au total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition,...) n × n × ... × n=nk applications différentes.

Exemple

En morse, les mots sont écrits avec un alphabet de deux symboles - et ?. Soit k un entier naturel non nul. Un mot de k lettres est un k-arrangement avec répétition de l'ensemble { - , ? }, donc il y a 2k mots d'exactement k lettres.

Voyez également

  • Arrangement
  • Combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.)
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