La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les dénombrements en analyse combinatoire.
En mathématiques, lorsque nous choisissons k objets parmi n objets discernables et que l’ordre dans lequel les objets sont sélectionnés revêt une importance, nous pouvons les représenter par un k-uplet d'éléments distincts et on en constitue une liste ordonnée sans répétition possible, c'est-à-dire dans laquelle l'ordre des éléments est pris en compte (si l'on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...), et un élément ne peut être présent qu'une seule fois).
Une telle liste ordonnée est appelée un arrangement. Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'arrangements que l'on peut faire est noté et vaut :
Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi n, le second parmi (n-1) ... et le dernier parmi (n-k+1). Avec la notation factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...), où n! = 1×2×...n, cette formule devient
pendant que pour k > n (ce qui exprime le principe des tiroirs).
Akn est en fait le nombre d'injections que l'on peut faire d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) à k éléments vers un ensemble à n éléments. Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial (En mathématiques, (algèbre et dénombrement) les coefficients binomiaux, définis...) (anciennement
) par :
Exemple : À un examen, cinq candidats tirent les uns après les autres un sujet dans une urne contenant des questions toutes différentes. Le premier tirage se fera sur un ensemble de 50 questions possibles. À chaque tirage suivant, la question qui vient d'être tirée est enlevée de l'urne. Ainsi, en faisant passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) les cinq candidats, le tirage se fait d'abord sur 50, puis sur 49, et ainsi de suite jusqu'à 46 qui représente l'ensemble des questions restantes dans l'urne pour le dernier tirage. L'arrangement va consister à additioner à chaque modification possible de cet ensemble de départ la nouvelle probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) de piocher une question donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...). La solution pour cet exemple est donc un arrangement de 5 (k) à 50 (n).
Si on remettait la question tirée de nouveau dans l'urne à chaque tirage, ce serait un arrangement avec répétition de 5 (k) à 50 (n), et la solution vaudrait 50^5.
Exemples d'arrangements :
Soient E un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une...) de cardinal n et k un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...). Un k-arrangement sans répétition de E est une application injective de {1, 2, ..., k} dans E.
Soient E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Un k-arrangement de E (ou k-arrangement sans répétition de E, ou encore arrangement sans répétition de n éléments pris k à k) est un k-uplet (a1, a2, ..., ak) d'éléments de E tel que ai≠aj qqsoit i, j € [1,k] avec i≠j, . Un tel k-uplet est aussi appelé k-liste distincte d'éléments de E.
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et k. L’ensemble des applications injectives de F dans E est fini et son cardinal est égal à n(n-1)... (n-k+1) si k≤n et 0 sinon. Ce cardinal se note
et se lit « Ank ». On dit aussi qu'on a un arrangement de k à n.
Si 1 ≤ k ≤ n alors supposons que F={x1, x2, ..., xk}. Pour construire une application injective de F dans E, nous devons
Au total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...), nous avons construit n.(n-1).....(n - k + 1) applications injectives différentes.
est aussi le nombre de k-arrangements sans répétition d'un ensemble E de cardinal n et nous avons
Supposons F={x1, x2, ..., xk}. Une injection f de F dans E s'identifie au k-uplet d'éléments distincts (f(x1), f(x2), ..., f(xk)). Il y a donc une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) entre l'ensemble des applications injectives de F dans E et l'ensemble des k-uplets d'éléments distincts de E.
Construire un arrangement revient à placer les uns après les autres, k objets discernables pris parmi n, dans k cases numérotées et donc une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets...) de n éléments est un n-arrangement de n éléments. La notion d'arrangement généralise donc celle de permutation.