Arrangement - Définition et Explications

Introduction

La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les dénombrements en analyse combinatoire.

En mathématiques, lorsque nous choisissons k objets parmi n objets discernables et que l’ordre dans lequel les objets sont sélectionnés revêt une importance, nous pouvons les représenter par un k-uplet d'éléments distincts et on en constitue une liste ordonnée sans répétition possible, c'est-à-dire dans laquelle l'ordre des éléments est pris en compte (si l'on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie...), et un élément ne peut être présent qu'une seule fois).

Une telle liste ordonnée est appelée un arrangement. Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'arrangements que l'on peut faire est noté et vaut :

Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi n, le second parmi (n-1) ... et le dernier parmi (n-k+1). Avec la notation factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs...), où n! = 1×2×...n, cette formule devient

pendant que pour k > n (ce qui exprime le principe des tiroirs).

A^k_n est en fait le nombre d'injections que l'on peut faire d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) à k éléments vers un ensemble à n éléments. Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…) (anciennement ) par :

Exemple : À un examen, cinq candidats tirent les uns après les autres un sujet dans une urne contenant des questions toutes différentes. Le premier tirage se fera sur un ensemble de 50 questions possibles. À chaque tirage suivant, la question qui vient d'être tirée est enlevée de l'urne. Ainsi, en faisant passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) les cinq candidats, le tirage se fait d'abord sur 50, puis sur 49, et ainsi de suite jusqu'à 46 qui représente l'ensemble des questions restantes dans l'urne pour le dernier tirage. L'arrangement va consister à additioner à chaque modification possible de cet ensemble de départ la nouvelle probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet...) de piocher une question donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.). La solution pour cet exemple est donc un arrangement de 5 (k) à 50 (n).

Si on remettait la question tirée de nouveau dans l'urne à chaque tirage, ce serait un arrangement avec répétition de 5 (k) à 50 (n), et la solution vaudrait 50^5.

Exemples d'arrangements :

• une phrase sans répétition de mot est un arrangement du dictionnaire ;
• une association forme son bureau (président, trésorier, secrétaire) à partir des membres de l'association ; le bureau est un arrangement de l'association ;
• le podium d'une course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) est un arrangement de l'ensemble des participants.

Définition mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures...)

Définition 

Soient E un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels...) de cardinal n et k un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre...). Un k-arrangement sans répétition de E est une application injective de {1, 2, ..., k} dans E.

Autre définition 

Soient E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Un k-arrangement de E (ou k-arrangement sans répétition de E, ou encore arrangement sans répétition de n éléments pris k à k) est un k-uplet (a₁, a₂, ..., a_k) d'éléments de E tel que a_i≠a_j qqsoit i, j € [1,k] avec i≠j, . Un tel k-uplet est aussi appelé k-liste distincte d'éléments de E.

Théorème 

Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et k. L’ensemble des applications injectives de F dans E est fini et son cardinal est égal à n(n-1)... (n-k+1) si k≤n et 0 sinon. Ce cardinal se note et se lit « Ank ». On dit aussi qu'on a un arrangement de k à n.

Démonstration 

• Si k > n, alors il n'existe aucune injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de F dans E et donc .
• Si k < n, alors démontrons l'égalité par récurrence sur l'entier k.
  • Si k = 1 alors F est un singleton et toute application de F dans E est injective donc .
  • Supposons l'égalité vérifiée pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble F de cardinal k - 1 (2 ≤ k ≤ n) et démontrons la au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du...) k :
    Soit F un ensemble de cardinal k, et x un élément de F. Posons G=F\{x}. Nous avons card(G)=k-1.
    Considérons la relation qui relie deux injections de F dans E quand elles ont même restriction à G. Les classes d'équivalence partitionnent en classes ayant toutes comme cardinal n-(k-1). En effet, il y a autant de façons de prolonger une injection de G dans E en une injection de F dans E que de choix de l'image de x parmi les n-k+1 images possibles. De plus le nombre de classes d'équivalence est égal au nombre de restrictions différentes d'applications de à G; il y en a donc (la restriction d'une injection à une partie étant injective). D'après le lemme des bergers :
    .
• Si k=0, nous poserons par convention pour tout entier naturel n , puisqu'il existe une seule application qui va de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) ∅ dans un ensemble quelconque E qui de plus est injective !

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant...) (élémentaire)

Si 1 ≤ k ≤ n alors supposons que F={x₁, x₂, ..., x_k}. Pour construire une application injective de F dans E, nous devons

• choisir l'image de x₁ et il y a n images possibles,
• choisir l'image de x₂ et il reste n-1 images possibles,
• ...
• choisir l'image de x_k, il reste dans l'ensemble E n - (k-1) éléments non atteints donc n - (k-1) images possibles.

Au total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des...), nous avons construit n.(n-1).....(n - k + 1) applications injectives différentes.

Corollaire 

est aussi le nombre de k-arrangements sans répétition d'un ensemble E de cardinal n et nous avons

Démonstration 

Supposons F={x₁, x₂, ..., x_k}. Une injection f de F dans E s'identifie au k-uplet d'éléments distincts (f(x₁), f(x₂), ..., f(x_k)). Il y a donc une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel...) entre l'ensemble des applications injectives de F dans E et l'ensemble des k-uplets d'éléments distincts de E.

Remarque 

Construire un arrangement revient à placer les uns après les autres, k objets discernables pris parmi n, dans k cases numérotées et donc une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre,...) de n éléments est un n-arrangement de n éléments. La notion d'arrangement généralise donc celle de permutation.