Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée) - Définition

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Voici une table de constantes mathématiques exprimées par leurs notations et par leurs représentations en fraction continuée :

(Constantes connues comme étant irrationnelles avec un développement en fraction continuée infini : leur dernier terme est ....)

Nom	Ensemble de nombres	Définition ou valeur approchée	Représentations en fraction continuée
Λ		> – 2,7 · 10^-9
$0\,\!$	$\mathbb{N}$	$0\,\!$	$[0;]\,\!$
1/2	$\mathbb{Q}$	$1/2\,\!$	$[0; 2]\,\!$
C₂		$C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}$	$C_2= [0; 1, 1, 1, 16, 2, 2, 2, 2, 1, 18, 2, 2, 11, 1, 1, 2, 4, 1, 16, 3, 2, 4, 21, 2, 405, 2, 1, 33, 1, 1] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
γ		$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)$ où ln représente le logarithme népérien.	$\gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, ...] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}$
β^*		$x_{n+1} = x_n \pm \beta x_{n-1}\,\!$ dégénère exponentiellement quand $n \rightarrow \infty\,\!$ avec une probabilité 1.	$\beta^{*} = [0; 1, 2, 2, 1, 3, 5, 1, 2, 6, 1, 1, 5] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}$
K	$\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ ?	$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x}$ où N(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés.	$K = [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 2, 3, 3, 18, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 6] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{3}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$
B₄		$B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots$	$B_4 = [0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 8, 1, 1, 1, 23] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{6}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
K		$K = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...$	$K = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{10}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
M₁		$M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]$	$M_1= [0; 3, 1, 4, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 4, 2, 4, 2, 1, 33, 296, 2, 1, 5, 19, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1] = 0 + \frac{3}{1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$
$1\,\!$	$\mathbb{N}$	$1\,\!$	[1;]
Nombre d'or (phi)	$\overline{\mathbb{Q}}$	$\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$	$\phi = [1; 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
E_B		$E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}$	$E_B = [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
B₂		$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$	$B_2 = [1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, 2, 2] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{9}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$
K		$\sqrt[n]{\|f_n\|} \to 1,13198824\dots \mbox{quand }n \to \infty.$ où f_n est une suite de Fibonacci aléatoire	$K = [1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2] = 1 + \frac{7}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
√2	$\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$	$\sqrt{2}\,\!$	$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}$
μ		Unique zéro positif de la fonction ${\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; .$	$\mu = [1; 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, 2, 4, 1, 12, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 2, 30, 6, 3, 6] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{4}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
$2\,\!$	$\mathbb{N}$	$2\,\!$	$[2;]\,\!$
α		≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	$\alpha = [2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, 1, 40, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 17, 1, 1, 5, 3, 2, 6, 3, 5, 1] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{85}{1 + \cdots}}}$
e		$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$	$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, ...] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
K_h		Pour : $x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}}$ , il est presque toujours vrai que $\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K \approx 2,6854520010\dots$	$K_h = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 90] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{5}{1 + \cdots}}}$
3	$\mathbb{N}$	$3\,\!$	$[3;]\,\!$
π		Produit de Wallis : $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$	$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...] = 3 + \frac{7}{1 + \frac{15}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
4	$\mathbb{N}$	$4\,\!$	$[4;]\,\!$
δ		≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	$\delta = [4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 80, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1] = 4 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{43}{1 + \cdots}}}$

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