Anneau noethérien - Définition
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Définitions
Anneau et module
De même qu'un corps commutatif est un espace vectoriel sur lui-même, il est possible de considérer un anneau A comme un A-module. Si l'anneau n'est pas commutatif, il existe deux produits externes différents : soit λ un élément de A vu comme un scalaire et a un élément de A vu comme un vecteur, les deux produits externes associent respectivement à (λ, a) le vecteur λ.a et a.λ. L'anneau A possède ainsi deux structures de A-module, une à gauche et une à droite, qui coïncident si A est commutatif.
Une deuxième différence réside dans les sous-espaces vectoriels. Un corps n'en contient que deux, l'espace réduit à 0 et le corps lui-même. Pour un anneau A, considéré comme A-module à gauche (resp. à droite), la notion de sous-module coïncide avec celle d'idéal à gauche (resp. à droite).
Un anneau A étant toujours supposé unitaire dans cet article, le A-module A possède une famille génératrice constituée d'un seul élément : l'unité (ou un élément inversible quelconque). Dire qu'un anneau commutatif est principal revient à dire, avec ce formalisme, que tous ses sous-modules admettent, eux aussi, une famille génératrice composée d'un seul élément. Ce n'est pas toujours le cas. Dans Z[X], l'anneau des polynômes à coefficients dans Z, l'ensemble des polynômes à coefficient constant pair est un idéal, mais il faut au moins deux éléments comme 2 et X pour engendrer ce sous-module. Il n'est donc pas principal mais seulement de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments).
Le concept noethérien se définit plus simplement sur un module, la définition d'anneau noethérien devient alors un cas particulier, celui où l'anneau est considéré comme un module sur lui-même (à gauche ou à droite).
Définitions
La définition pour les modules est la suivante :
Soit A un anneau. Un A module M est dit noethérien si et seulement s'il vérifie l'une des trois propriétés suivantes, qui sont équivalentes :
Soit ( Mn ) une suite croissante de sous-modules de M. Notons N l'union de tous les modules Mn. Comme ils sont emboîtés, N est un sous-module. Par l'hypothèse 1, N admet une famille génératrice finie ( mj ). Chacun de ces vecteurs mj appartient à N, donc à l'un des Mn (et à tous les suivants) : il existe donc un indice nj tel que ce vecteur mj appartienne à tous les Mi pour i supérieur ou égal à nj. Soit n le maximum de la famille finie des indices nj, si i est plus grand que n alors Mi contient la famille ( mj ) et donc N. Ceci montre que la suite de sous-modules est constante à partir du rang n, donc stationnaire.
On raisonne par contraposée, on suppose donc qu'un ensemble non vide F de sous-modules ne possède pas d'élément maximal. On va définir une suite ( Mn ) strictement croissante d'éléments de F. Soit M0 un élément quelconque de F. On suppose la suite définie à l'ordre n, Mn n'est pas un élément maximal de F, on peut donc choisir dans F un élément Mn+1 contenant strictement Mn. Il existe alors une suite strictement croissante pour l'inclusion. Par contraposée, la proposition est démontrée.
Considérons l'ensemble F des sous-modules de type fini de M. Par l'hypothèse 3, F admet un élément maximal N. Montrons que M = N. Par construction, N est de type fini : il existe une famille finie (fi) qui l'engendre. Soit m un élément quelconque de M, considérons le sous-module P engendré par la famille constituée de m et des fi : P est de type fini donc appartient à F. Comme N est maximal et que P le contient, N est égal à P. En conséquence N contient le vecteur m. Comme m est un vecteur quelconque de M, N est égal à M, ce qui montre que le module M est de type fini.
On en déduit ainsi la définition pour les anneaux :
- Un anneau est dit noethérien à gauche si et seulement si tous ses idéaux à gauche sont de type fini ;
- un anneau est dit noethérien à droite si et seulement si tous les idéaux à droite sont de type fini ;
- un anneau est dit noethérien s'il est noethérien à droite et à gauche.
Dans le cas des anneaux commutatifs, ces trois définitions coïncident. D'autre part, les deux définitions alternatives et équivalentes de la notion de module noethérien se traduisent immédiatement pour les anneaux.
