Anneau noethérien - Définition et Explications

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Introduction

Emmy Noether formalise les propriétés d'une famille particulière d'anneaux maintenant appelés anneaux noethériens.

En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) muni d'une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et d'une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) compatible avec l'addition, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de la distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z...).

De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...). Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...) n'existe en général plus, les idéaux, outils majeurs de la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.), ne sont plus toujours principaux et le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) ne possède plus d'équivalent.

L'approche consistant à étudier une question uniquement sous l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) des propriétés spécifiques d'une structure d'anneau particulière s'est révélée fructueuse. Richard Dedekind l'a utilisée avec succès en arithmétique et David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...) en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) algébrique. Emmy Noether (Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 — 14 avril 1935) était une...) choisit un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) plus limité de propriétés vérifiées par certains anneaux et démontre de nombreux résultats sur ceux-ci.

Le terme d'anneau noethérien apparait en 1954 sous la plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de...) de mathématiciens japonais.

Approche intuitive

Dans certains cas simples, tous les idéaux d'un anneau A sont principaux. Si A est considéré comme un module sur lui-même, ses idéaux sont alors des sous-modules engendrés par un élément. Cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) n'est cependant pas générale.

En arithmétique, il est fréquent d'utiliser des anneaux d'entiers algébriques comme par exemple les entiers quadratiques de la forme a + b.i√5 où a et b sont des entiers relatifs et i l'unité imaginaire complexe. Il existe en effet dans cet anneau un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....), formé des éléments de la forme 2.a + b(1 + i√5), où a et b sont des entiers relatifs, qui n'est pas principal, c'est-à-dire n'est pas engendré par un unique élément. En revanche, il est engendré par un nombre fini d'éléments, ici deux. Dans l'anneau considéré, c'est-à-dire Z[i.√5] (la lettre Z désigne dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) l'article l'anneau des entiers relatifs) tous les idéaux sont engendrés par un ou deux éléments. Cette configuration est la même pour tout anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux...)'entiers algébriques d'une extension finie du corps des nombres rationnels.

Cette configuration se retrouve en théorie des groupes. Si G est un groupe abélien de type fini (c'est-à-dire admettant une famille génératrice finie) muni de sa structure canonique de Z-module, tout sous-groupe de G, qui est aussi un sous-module, admet une famille génératrice finie. La propriété est la même, même si elle s'applique à un module et non plus à un anneau.

Cette propriété, indiquant que tout idéal d'un anneau A admet une famille génératrice finie si l'idéal est considéré comme un sous A-module, est fréquente en mathématiques. Elle correspond à la notion formalisée par la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'anneau noethérien. La notion de module noethérien est un substitut de l'hypothèse de la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...).

Propriétés

Tout sous-module et tout module quotient d'un module noethérien sont noethériens, et l'équivalence suivante donne une réciproque :

  • Soit P un sous-module de M, le module M est noethérien si et seulement si P et M / P le sont.

On en déduit aussitôt :

  • tout anneau quotient (par un idéal bilatère) d'un anneau noethérien à gauche est noethérien à gauche et
  • si A est un anneau noethérien, les A-modules noethériens sont exactement les A-modules de type fini.

La décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) des idéaux est plus délicate. Dans l'anneau commutatif principal Z par exemple, l'idéal 12Z est égal à la fois au produit des idéaux 2Z, 2Z et 3Z, et à l'intersection des idéaux 22Z et 3Z (qui est aussi leur produit). Dans un anneau commutatif seulement noethérien, trois propriétés s'en rapprochent (la première est utilisée dans l'article Anneau de valuation discrète, la deuxième est le théorème de Lasker-Noether) :

Soit A un anneau commutatif noethérien.

  1. Tout idéal de A contient un produit d'idéaux premiers, ou plus précisément, tout idéal I de A contient un produit d'idéaux premiers qui contiennent I.
  2. Pour tout idéal de A, il existe un nombre fini d'idéaux premiers minimaux contenant cet idéal.
  3. Tout idéal radiciel de A est intersection finie d'idéaux premiers.
  4. Tout idéal de A est décomposable, c'est-à-dire intersection finie d'idéaux primaires.
  5. Si A est intègre, tout élément non nul et non inversible est produit d'un nombre fini d'éléments irréductibles.
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