Conjecture de géométrisation - Définition

Divers

Le couturier Issey Miyake a conçu des vêtements féminins inspirés par ce théorème, présentés lors d'un défilé au Carouusel du Louvre en mars 2010.

Historique

Thurston énonça sa conjecture en 1976 ; au début des années 80, il la démontra pour les variétés de Haken (en), ce qui lui valut la médaille Fields en 1982.

L'analyse du cas des 3-variétés qui "devraient" être sphériques fut plus lente, mais amena Richard Hamilton à développer la technique du flot de Ricci. En 1982, Hamilton montra qu'étant donnée une variété fermée de métrique ayant une courbure de Ricci positive, le flot de Ricci la contractait en un point en un temps fini, ce qui démontrait la conjecture de géométrisation dans ce cas, car la métrique devient "presque sphérique" juste avant la fin de la contraction. Il devait par la suite développer un programme de démonstration de la conjecture dans le cas général, utilisant le flot de Ricci en combinaison avec des techniques de chirurgie topologique (en). Le flot de Ricci produit en général des singularités, mais l'idée est qu'il devrait être possible de les exciser, et de continuer le flot sur la nouvelle variété ainsi obtenue.

En 2003, Grigori Perelman esquissa une preuve de la conjecture en montrant que le flot peut en effet être prolongé, et que le comportement final de la variété est celui qui avait été prédit par Hamilton. La principale difficulté de cette preuve était son usage critique du théorème 7.4 de sa prépublication intitulée Ricci Flow with surgery on three-manifolds ("Flot de Ricci et chirurgie sur les 3-variétés"). Perelman énonçait ce théorème sans démonstration, mais il en existe à présent trois démonstrations distinctes  : ainsi, par exemple, la méthode de Shioya et Yamaguchi, qui utilise entre autres le théorème de stabilité de Perelman ; tous les détails de cette méthode se trouvent dans cette prépublication (en) ; plus récemment, Morgan et Tian en ont donné une preuve n'utilisant que le flot de Ricci. Une fois le théorème 7.4 de Perelman prouvé, la conjecture de géométrisation en découle "facilement"