Courbure - Définition et Explications

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Introduction

Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :

  • dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) à une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) nulle, et un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) un objet de courbure constante positive.
  • dans l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) usuel à trois dimensions, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) un objet à deux dimensions de courbure constante positive. Une « selle de cheval » possède au contraire un point (Graphie) de courbure négative.

Cette notion intuitive de courbure se précise et admet une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) à des espaces de dimensions quelconques dans le cadre de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) riemannienne.

Comme l'a montré Gauss pour le cas des surfaces (theorema egregium), il est très remarquable que la courbure d'un objet géométrique puisse être décrite de façon intrinsèque, c’est-à-dire sans référence aucune à un « espace de plongement » dans lequel se situerait l'objet considéré. Par exemple, le fait qu'une sphère ordinaire soit une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) à courbure positive constante est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) indépendant du fait que nous voyons habituellement cette sphère comme étant plongée dans notre espace euclidien à trois dimensions. La courbure de cette sphère pourrait très bien être mesurée par des êtres intelligents bidimensionnels vivant sur la sphère (sortes de « fourmis bidimensionnelles »), à partir de mesures de longueurs et d'angles effectuées sur la sphère. La légende veut que Gauss se soit interrogé sur ces questions en étant confronté aux difficultés de cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...).

Courbure d'un arc

Tangente et cercle osculateur en un point P de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) C

On peut définir la courbure d'un arc de l'espace euclidien à deux dimensions de plusieurs façons équivalentes. Il existe cependant deux conventions en usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.), l'une faisant de la courbure une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) obligatoirement positive, l'autre donnant une version algébrique de la courbure. Elle se calcule en chaque point de la courbe, moyennant certaines hypothèses sur les dérivées des fonctions servant à définir celle-ci.

La courbure quantité positive peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) comme la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) pour un mobile parcourant la courbe à vitesse (On distingue :) constante égale à 1. C'est aussi l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) du rayon du cercle osculateur, cercle venant épouser la courbe au plus près au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) du point d'étude. En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), la courbure indique la propension de la courbe à se comporter comme un cercle de plus ou moins grand rayon, c’est-à-dire à former un virage plus ou moins serré.

Pour introduire des versions algébrisées de la courbure, il faut munir le plan et la courbe d'une orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) et introduire un repère mobile adapté au mouvement : le repère de Frenet. Le signe de la courbure s'interprète alors comme l'indication (Une indication (du latin indicare : indiquer) est un conseil ou une recommandation, écrit...) du sens dans lequel est tournée la concavité de la courbe. La courbure désigne aussi le taux (par unité d'abscisse curviligne) auquel les vecteurs du repère de Frenet tournent par rapport à une direction fixe.

La courbure peut ensuite être généralisée aux courbes gauches (courbes tracées dans l'espace à trois dimensions), mais les mêmes raisons qui empêchent d'orienter de façon compatible tous les plans de l'espace empêchent de définir une courbure algébrique ; elle est donc par convention toujours positive. La courbure s'accompagne alors d'un autre invariant, la torsion (La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés...).

Le rayon de courbure est défini comme l'inverse de la courbure.

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