Connexité (mathématiques) - Définition

Connexité et nombres réels

Montrons que les parties connexes de sont les intervalles.

• Si A est une partie connexe de alors A est un intervalle, puisque tout réel a strictement compris entre deux éléments de A appartient lui aussi à A : sinon, et formeraient une partition de A en deux ouverts de A non vides et disjoints.
• Si A est un intervalle de alors A est connexe, puisque toute application continue de A dans qui ne prend que les valeurs 0 et 1 est constante, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

Deux applications fondamentales à l'Analyse

Pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les points d'une partie que l'on sait connexe, on montre que l'ensemble des points qui la satisfait est ouvert et fermé. C'est ce qu'on fait pour le théorème d'unicité global des solutions d'une équation différentielle, et pour le principe du prolongement analytique.

Applications localement constantes

Définition

Soit X un espace topologique, et Y un espace séparé (par exemple un espace métrique).

Une application f de X dans Y est dite localement constante sur X si pour tout , il existe un voisinage de x sur lequel f est constante.

Une fonction localement constante sur X n'est pas forcément constante sur X. Intuitivement, c'est le cas si l'ensemble X est « en un seul morceau », ce que montre le théorème suivant

Théorème

Si X est connexe, toute application localement constante sur X est constante.

Applications à la topologie

Les applications sont nombreuses. La droite et le plan ne sont pas homéomorphes : si tel était le cas, la droite privée d'un point serait homéomorphe au plan privé d'un point. Mais le second espace est connexe, le premier ne l'est pas.

Le même argument montre que le cercle S¹ n'est pas homéomorphe à un intervalle.

Cet argument ne s'étend pas aux dimensions supérieures. Si on veut montrer en utilisant les mêmes idées que et ne sont pas homéomorphes, il faut faire intervenir la connexité simple (c'est-à-dire la connexité par arcs de l'espace des chemins fermés). Le résultat est encore vrai pour les dimensions supérieures, mais fait appel pour la démonstration à outils plus puissant comme l'homologie.

On peut encore citer, comme application de la connexité, l'analyse de l'énigme des trois maisons. l'objet de cet énigme est de relier trois points du plan identifiés à des maisons à trois autres, identifiés à des fournisseurs (eau, gaz et électricité). Chaque maison doit être reliée aux trois fournisseurs et les liens ne doivent pas se croiser. La démonstration de l'impossibilité de résolution se fonde sur le théorème de Jordan, qui s'exprime en termes de connexité.