Connexité (mathématiques)

La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau », dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié.

Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

• E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
• E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
• Il n'existe pas dans E de sous-ensemble à la fois ouvert et fermé distinct du vide et de E ;
• Toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.

Cette dernière caractérisation est souvent la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.

Dans le cas où ces conditions sont remplies on dit que l'espace E est connexe.

Une partie X d'un espace topologique E est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la topologie induite.

Montrons que les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.

• Si A est une partie connexe de $\mathbb{R}$ alors A est un intervalle, puisque tout réel a strictement compris entre deux éléments de A appartient lui aussi à A : sinon, $]-\infty ,a[\cap A$ et $]a,+\infty [\cap A$ formeraient une partition de A en deux ouverts de A non vides et disjoints.
• Si A est un intervalle de $\mathbb{R}$ alors A est connexe, puisque toute application continue de A dans $\mathbb{R}$ qui ne prend que les valeurs 0 et 1 est constante, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

Union, intersection, adhérence

Si X et Y sont deux parties connexes d'un espace topologique E, en général l'union et l'intersection de X et Y ne sont pas connexes.

En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe si elles ont un point commun. Plus généralement, si $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante : $\forall n\in \mathbb{N},X_n\cap X_{n+1}\ne \varnothing$ alors la réunion ${\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}{X}_n$ est connexe.

Autre généralisation : la réunion d'une famille quelconque $\left(X_{\alpha }\right)$ de parties connexes de E est connexe, si leur intersection est non vide. Exemple d'application : toute partie connexe par arcs est connexe.

Si $A\subset X$ est connexe, toute partie B telle que $A\subset B\subset \overline{A}$ est connexe (on a désigné par $\overline{A}$ l'adhérence de A , qui dans ce cas est donc aussi connexe ).

Composantes connexes

Étant donné un point $x$ dans un espace topologique $E$, la réunion de toutes les parties connexes contenant $x$ est connexe. C'est la plus grande (au sens de la relation d'inclusion) de toutes les parties connexes contenant $x$. On la note $C_x$ et on l'appelle composante connexe de $x$ dans $E$. Les composantes connexes sont des parties fermées.

Au minimum, on a C_x = {x} ; cela signifie que {x} est le seul sous-ensemble connexe de E contenant x mais pas forcément que x est un point isolé (cf. exemples). Si cette propriété est vraie pour tout x, on dit que l'espace est totalement discontinu. Au maximum, on a C_x = E ; c'est le cas où E est connexe.

On définit une relation d'équivalence sur E de la manière suivante : on dit que x et y sont connectés si et seulement si $y\in C_x$. Cette relation équivaut à $x\in C_y$. Les classes d'équivalence pour cette relation sont les composantes connexes de E ; ainsi tout espace topologique se décompose en union disjointe de parties connexes maximales pour l'inclusion (il n'y en a qu'une si l'espace est connexe !)

Exemples :

• ${\mathbb{R}}^{\ast }$ a deux composantes connexes : ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ et ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$.
• Dans $\mathbb{N}$ et plus généralement dans un espace muni de la topologie discrète, les composantes connexes sont les singletons.
• Dans $\mathbb{Q}$ aucun point n'est isolé, mais les composantes connexes sont aussi les singletons. Le même phénomène se produit pour l'ensemble de Cantor.
• Le groupe $Gl(n,\mathbb{R})$ des matrices inversibles de taille n a deux composantes connexes, données par le signe du déterminant.

Connexité et continuité

D'après la définition, un espace E est connexe lorsque l'image de E par une application continue n'est jamais un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète. Or une telle paire est non connexe.

En fait, on peut démontrer plus généralement que l'image d'un espace connexe par une application continue est toujours connexe. Plus précisément si $E$ est un espace connexe, $F$ un espace topologique et $f:E\to F$ une application continue, alors $f(E)$ est une partie connexe de $F$.

Ceci est une généralisation du théorème des valeurs intermédiaires, qui correspond au cas où $E$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et où $F=\mathbb{R}$.

Définition

Soit X un espace topologique, et Y un espace séparé (par exemple un espace métrique).

Une application f de X dans Y est dite localement constante sur X si pour tout $x\in X$, il existe un voisinage de x sur lequel f est constante.

Une fonction localement constante sur X n'est pas forcément constante sur X. Intuitivement, c'est le cas si l'ensemble X est « en un seul morceau », ce que montre le théorème suivant

Théorème

Si X est connexe, toute application localement constante sur X est constante.

Pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les points d'une partie que l'on sait connexe, on montre que l'ensemble des points qui la satisfait est ouvert et fermé. C'est ce qu'on fait pour le théorème d'unicité global des solutions d'une équation différentielle, et pour le principe du prolongement analytique.

Les applications sont nombreuses. La droite $\mathbb{R}$ et le plan ${\mathbb{R}}^2$ ne sont pas homéomorphes : si tel était le cas, la droite privée d'un point serait homéomorphe au plan privé d'un point. Mais le second espace est connexe, le premier ne l'est pas.

Le même argument montre que le cercle S n'est pas homéomorphe à un intervalle.

Cet argument ne s'étend pas aux dimensions supérieures. Si on veut montrer en utilisant les mêmes idées que ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$ ne sont pas homéomorphes, il faut faire intervenir la connexité simple (c'est-à-dire la connexité par arcs de l'espace des chemins fermés). Le résultat est encore vrai pour les dimensions supérieures, mais fait appel pour la démonstration à outils plus puissant comme l'homologie.

On peut encore citer, comme application de la connexité, l'analyse de l'énigme des trois maisons. l'objet de cet énigme est de relier trois points du plan identifiés à des maisons à trois autres, identifiés à des fournisseurs (eau, gaz et électricité). Chaque maison doit être reliée aux trois fournisseurs et les liens ne doivent pas se croiser. La démonstration de l'impossibilité de résolution se fonde sur le théorème de Jordan, qui s'exprime en termes de connexité.