Ensemble dénombrable - Définition

Théorie axiomatique

Les définitions et les développements autour du dénombrable ont été menés sans faire référence à une axiomatisation précise de la théorie des ensembles, mais on vérifie facilement que tout se formalise dans la théorie de Zermelo-Fraenkel, et même dans la théorie de Zermelo, avec éventuellement l'axiome du choix. Plutôt que le schéma d'axiomes de remplacement, le schéma d'axiomes de compréhension suffit. En particulier l'axiome de l'infini permet de montrer l'existence d'un ensemble infini qui a les propriétés attendues de l'ensemble N des entiers naturels, et que l'on prend comme définition de celui-ci.

On a eu besoin de l'axiome du choix, d'une part pour montrer que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, d'autre part pour montrer que si un ensemble n'est pas fini, il contient un ensemble dénombrable. Dans les deux cas on peut montrer que l'axiome du choix dénombrable suffit. C'est évident pour le premier énoncé (voir ci-dessus).

Pour le second, soit E un ensemble infini (c'est-à-dire qui n'est en bijection avec aucun ensemble {0, … , n -1}, n entier). Il est naturel de construire une suite injective par récurrence en utilisant une fonction de choix sur les sous-ensembles de complémentaire fini de E (tous non vides sinon E serait fini). On modifie légèrement cette preuve pour n'utiliser que l'axiome du choix dénombrable. Pour chaque entier n l'ensemble des n+1-uplets d'éléments de E distincts deux à deux (les injections de {0, ..., n} dans E) est non vide. D'après l'axiome du choix dénombrable, il existe une fonction f définie sur N telle que f(n) est un n+1-uplet d'éléments de E distincts deux à deux. On peut alors définir g sur N par récurrence de la façon suivante. En 0, g(0) est le seul élément du 1-uplet f(0). En n+1, g(n+1) est l'élément de plus petit indice du n+2-uplet f(n+1) qui n'apparait pas dans {g(0), …, g(n)} (de cardinal au plus n+1, donc un tel élément existe). Par construction la fonction g est injective, et son image est donc un sous-ensemble dénombrable de E.

On peut montrer que l'axiome du choix est bien nécessaire pour ces deux résultats. Il existe des modèles de la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZF, (sans l'axiome du choix, bien entendu), dans lesquels par exemple l'ensemble des réels R est réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.. De façon analogue il existe des modèles de ZF dans lesquels existent des ensembles infinis qui ne contiennent pas de sous-ensemble dénombrable. Les démonstrations utilisent des méthodes avancées de théorie des ensembles, elles combinent le forcing de Cohen et la méthode de permutation de Fraenkel-Mostowski.