Forcing
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment...). Combinée avec la technique des modèles de permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession de ces n...) de Fraenkel-Mostowski-Specker, elle a permis également d'établir l'indépendance de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) du choix relativement à ZF. Le forcing (En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des...) a été notablement remanié et simplifié dans les années soixante et s'est révélé être une technique extrêmement puissante, à la fois en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) et dans d'autres branches de la logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles :), comme la théorie des modèles (La théorie des modèles est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement valide si on peut définir un univers dans lequel elle...) ou la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) intuitionniste.

Motivations intuitives

Le forcing est équivalent à la méthode des modèles à valeurs booléennes, qui est parfois ressentie comme plus naturelle et intuitive, mais qui est en général plus difficile à appliquer.

Intuitivement, le forcing consiste à étendre l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) V. Dans cet univers plus large, V*, on pourra par exemple avoir de nombreux nouveaux sous-ensembles de ω = {0,1,2,…} qui n'existaient pas dans l'univers V, violant ainsi l'hypothèse du continu. A priori impossible, cette construction ne fait que refléter l'un des "paradoxes" de Cantor concernant l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), et en particulier le fait qu'il existe des modèles dénombrables de ZFC, contenant pourtant des ensembles non-dénombrables (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) du modèle), d'après le théorème de Löwenheim-Skolem (Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur — avec le...). En principe, on pourrait par exemple considérer V^* = V \times \{0,1\}, identifier x \in V avec (x,0), et introduire une relation d'appartenance étendue mettant en jeu les "nouveaux" ensembles de la forme (x,1). Le forcing est une version élaborée de cette idée, réduisant l'expansion à l'existence d'un nouvel ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...), et permettant un contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) fin des propriétés de l'univers ainsi étendu.

La technique initialement définie par Cohen, connue à présent sous le nom de forcing ramifié, est légèrement différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de...) du forcing non ramifié qui sera exposé ici.

Modèles transitifs dénombrables et fitres génériques

L'étape clé de la technique du forcing est, étant donné un univers V de ZFC, de déterminer un G approprié qui ne soit pas dans V. La classe de toutes les interprétations des P-noms s'avèrera être un modèle de ZFC, et une extension propre du V initial, puisque GV.

Plutôt que de travailler avec V, on considère un modèle transitif dénombrable M, avec (P,≤,1) ∈ M. M est ici un modèle de la théorie des ensembles, soit de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ZFC, soit d'un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) fini des axiomes de ZFC, ou encore d'une variante. La transitivité signifie que si xyM, alors xM ; le lemme de Mostowski dit qu'on peut supposer la transitivité de M si la relation d'appartenance est bien fondée. La transitivité permet de traiter l'appartenance et les autres propriétés élémentaires des ensembles de manière intuitive dans M. Enfin, il est toujours possible de prendre des modèles dénombrables, grâce au théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Löwenheim-Skolem.

M étant un ensemble, il y a des ensembles non dans M (c'est le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une...) de Russell). L'ensemble G approprié, qu'on choisit d'adjoindre à M, doit être un filtre générique sur P, c'est-à-dire un sous-ensemble de P tel que

  • 1 ∈ G ;
  • si pqG, alors pG ;
  • si p,qG, alors ∃rG, rp et rq ;

ce qui fait de G un filtre ; la condition pour que G soit générique est

  • si DM est un sous-ensemble dense de P (c'est-à-dire, si pP implique ∃qD, qp) alors GD ≠ 0 .

L'existence d'un filtre générique G non dans M découle du lemme de Rasiowa-Sikorski. En fait, on a un résultat légèrement plus fort  : étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) une condition pP, il existe un filtre générique G tel que pG.

Si P n'a qu'un ensemble dénombrable (Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels , c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur  ; cela équivaut à...) de sous-ensembles denses, on peut en fait choisir GM ; c'est le cas trivial. Les éléments minimaux de P donnent aussi des G triviaux ; en effet si D est dense et si p est minimal, alors, comme le seul element qp est p lui-même, pD. Ainsi, tout filtre contenant un élément minimal est générique, et l'on peut encore choisir GM.

Page générée en 0.008 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique