Ensemble
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Ensemble défini comme image directe

Pour noter l'ensemble des carrés parfaits non nuls (voir exemple au paragraphe précédent) on peut utiliser la notation plus concise :

\{y^2 \mid y\in \mathbb N\ {\rm et}\ y\geq 1 \}

dont la forme générale est :

\{ f(x)\;;\; x\in E\}=\{y\mid \exists x\in E,\ y=f(x)\}

Elle représente l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des images d'un ensemble E par une application f. L'ensemble obtenu s'appelle image directe (L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :) de E par f. Il s'agit d'une variante de la notation en compréhension ci-dessus. Elle se déduit de celle-ci, en utilisant la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) d'une fonction, si F est l'ensemble d'arrivée de la fonction f :

\{ f(x)\;\mid\; x\in E\}=\{y\in F\;\mid\; \exists x\in E,\ y=f(x)\}.

De cette notation dérivent d'autres notations facile à comprendre

2\mathbb N = \{ 2n\;;\; n\in \N\}
A+B =\{a+ b\;;\; a\in A\ et\ b\in B\}
E\times F=\{(x,y)\;;\; x\in E\ et\ y \in F\}
\prod_ {i\in I}E_i=\{(x_i)_{i \in I}\;;\; \forall i\in I,\ x_i\in E_i\}

Ces notations ont leur avantage et leur inconvénient. D'un côté, elles facilitent une compréhension immédiate des ensembles considérés et rendent accessibles à l'intuition des objets plus compliqués. D'un autre côté, ces notations masquent un quantificateur existentiel indispensable dès lors que l'on veut utiliser cet ensemble.

Définition d’un ensemble en compréhension

Un ensemble peut être défini en compréhension, c’est-à-dire qu'on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné. Ainsi l'ensemble des entiers naturels pairs est clairement défini par compréhension, par la propriété « être pair » parmi les entiers naturels. On peut utiliser la notation d'un ensemble en compréhension, par exemple pour l'ensemble des entiers naturels pairs, on écrira (\mathbb N désignant l'ensemble des entiers naturels) :

  • \{x \in\mathbb N \mid x\ \rm pair\}.

On définira de la même façon (\mathbb Z désignant l'ensemble des entiers relatifs):

  • \{x \in\mathbb  Z \mid -7 \leq x \leq 23\} l'ensemble des entiers relatifs compris entre -7 et 23 ;
  • \left\{x \in\mathbb N \mid  \exists y \in \mathbb N\ (y \geq 1\ {\rm et}\  x = y^2)\right\} l'ensemble des carrés parfaits non nuls.


La formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques,...) générale est :

\{x \in E \mid P(x) \},

Cette construction a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires et les besoins...) d'un ensemble déjà existant E et d'une propriété P définie sur tous les éléments de E. Elle permet donc de construire des sous-ensembles mais pas la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres au...) d'une famille d'ensembles, ni l'ensemble des parties d'un ensemble, ni même les ensembles finis définis par la liste de leurs éléments comme au paragraphe précédent. On pourrait pourtant écrire, par exemple pour l'ensemble des parties P(E) = { A | AE }

Il n'est pas pour autant pour autant possible de définir un ensemble par n'importe quelle propriété, et lever entièrement la restriction de la compréhension. Si c'était le cas on pourrait définir l'ensemble {x | x ∉ x}, ce qui conduit à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) (c'est le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit l'intuition...) de Russell). La restriction de la compréhension à un ensemble connu protège contre ce genre de paradoxes, elle correspond directement au schéma d'axiomes de compréhension de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de Zermelo. Cette restriction ne peut se lever que dans des cas particuliers précis, qui correspondent à d'autres axiomes de la théorie de Zermelo (axiome de la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :), axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des...), axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) de l'ensemble des parties).

On n'a pas dit ce que l'on entendait par « propriété » ou « condition ». Malgré la restriction précédente, on ne peut tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autoriser, sous peine d'autres paradoxes comme le paradoxe de Richard ou le paradoxe de Berry, qui fait intervenir, par exemple, « l'ensemble des entiers naturels définissables en moins de quinze mots français ». Il est nécessaire de préciser le langage dans lequel on peut définir ces conditions. En particulier ce langage doit être défini a priori, et ne peut être étendu qu'à l'aide de définitions qui sont soit de simples abréviations, soit résultent de preuves d'existence et d'unicité.

Page générée en 0.080 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique