Ensemble
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Ensembles finis

Quand on parle d'ensembles finis, c'est en un sens intuitif, sans avoir vraiment défini cette notion. Un ensemble est fini quand on peut compter ses éléments à l'aide d'entiers tous plus petits qu'un entier donné.

Les ensembles finis peuvent être définis en extension, par la liste de leurs éléments, et décrits comme tels ; on place la liste des éléments d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) entre accolades, comme on l'a déjà vu pour l'ensemble {2, 3, 5}. Par exemple, l'ensemble des jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par...) de la semaine peut être représenté par { lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche }.

La notation d'un ensemble en extension n'est pas unique : un même ensemble peut être noté en extension de façon différentes.

  • L’ordre des éléments est sans importance, par exemple { 1, 2 } = { 2, 1 }.
  • La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble :
toujours avec le même exemple, { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }.

À cause de la propriété d'extensionnalité, il n'est pas question de distinguer des ensembles par le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de répétitions d'un même élément à ces ensembles : un élément appartient ou n'appartient pas à un ensemble, il ne peut appartenir à un ensemble une, deux, ou trois fois ... On pourrait imposer que la notation se fasse sans répétitions, ce serait assez malcommode dès qu'interviennent des variables : on ne pourrait noter un ensemble en extension sans devoir supposer que ses éléments sont distincts.

Il peut arriver que l'on ait besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins...) d'ensemble « avec répétition », dans le cas fini, il s'agit plus justement, de suites finies à l'ordre des éléments près, on définit alors la notion de multiensemble (Un multiensemble (parfois appelé sac) est une paire (A,m) où A est un ensemble quelconque appelé support et m une fonction de A dans l'ensemble des entiers naturels, appelée...) fini (qui peut se définir à partir de la notion de suite finie).

Les ensembles réduits à un seul élément sont appelés singletons. Par exemple l'ensemble qui contient pour seul élément 0 est appelé « singleton 0 » et noté {0}. Les ensembles qui ont exactement deux éléments sont appelées paires, la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) des éléments 1 et 2, notée {1,2}, ne doit pas être confondue avec le couple (1,2), qui a un ordre déterminé.

Quand on axiomatise la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du...), les paires (et singletons) jouent un rôle particulier, voir l'article Axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles...).

Par extensionnalité, il n'y a qu'un seul ensemble sans éléments, l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), que l'on note ∅ ou { }.

Égalité de deux ensembles

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) – et pas seulement en mathématiques d'ailleurs –, on considère que deux objets sont égaux quand ils ont les mêmes propriétés, que l'on ne peut donc les distinguer l'un de l'autre – c'est la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l'égalité de Leibniz. Dire quand deux objets sont égaux, c'est-à-dire quand deux expressions désignent en fait le même objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...), c'est donc donner une information sur ce que sont ces objets. En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des ensembles on décide qu'un ensemble est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de...) caractérisé par ses éléments, son extension, alors qu'il peut avoir plusieurs définitions. Par exemple, il n'y a pas lieu de distinguer l'ensemble des entiers différents d'eux-mêmes et l'ensemble des entiers supérieurs à tous les nombres premiers : ces deux ensembles sont tous les deux vides, donc égaux – ils ont bien les mêmes éléments –, même s'ils ont des définitions différentes, et sont vides pour des raisons très différentes.

On dira donc que deux ensembles A et B sont égaux (on le notera comme d'habitude A = B) quand ils ont exactement les mêmes éléments. Cette propriété est connue sous le nom d'extensionnalité :

(Extensionnalité)     A = B   si et seulement si   ∀x( xAxB )

où « ⇔ » désigne l'équivalence logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est...). Deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont bien identiques : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre. Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. Par contre, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu.

Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Quand un ensemble est fini, il est donc possible de le définir en donnant la liste de ses éléments, que l'on note traditionnellement entre accolades. Par exemple l'ensemble auxquels appartiennent les éléments 2, 3, et 5, et seulement ces éléments, est noté {2, 3, 5}. L'ensemble est défini en extension.

Mais on ne peut procéder ainsi en toute généralité, on ne pourrait définir ainsi un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini...). Même si quelques artifices de notation qui ressemblent à la notation en extension sont possibles (voir ci-après), la façon la plus générale de définir un ensemble est de donner une propriété caractéristique des éléments de cet ensemble. Par exemple, on pourra définir l'ensemble des nombres premiers par une propriété caractéristique de ceux-ci : être différent de 1 et avoir pour seuls diviseurs 1 et lui-même. On parle de définition en compréhension. L’ensemble {2, 3, 5} peut être défini en compréhension comme l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. La définition en extension des ensembles finis peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme un cas particulier simple de définition en compréhension : par exemple l'ensemble {2, 3, 5} est caractérisé par la propriété, pour un nombre entier, d'être égal à 2 ou à 3 ou à 5.

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