Axiome de la réunion
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Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, affirmant que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) quelconque, il existe un ensemble qui contient exactement les éléments de tout élément de l'ensemble.

Cet axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...), permet avec l'aide de l'axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.) de démontrer que la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres au sud-ouest...) de deux ensembles (qui contient exactement les éléments des deux ensembles), est un ensemble.

Dans le langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de...) de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

\forall A\ \exists B\ \forall C\ [ C\in B\Leftrightarrow \exists D\ (D\in A\wedge C\in D) ]

ou avec des mots:

étant donné un ensemble quelconque A, il existe un ensemble B tel que, pour tout ensemble C quelconque, C est élément de B si et seulement s’il existe un ensemble D tel que D soit un élément A et que C soit un élément de D.

Pour comprendre cet axiome, notez que la clause placée entre parenthèses et faisant intervenir D dans l'affirmation symbolique ci-dessus, sert à déclarer que C est élément d'un certain ensemble lui-même élément de A. Ainsi, l'axiome affirme réellement qu'étant donné un ensemble A, nous pouvons trouver un ensemble B dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de A. Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour prouver que cet ensemble B est unique. Nous appelons l'ensemble B la réunion de A, et le notons \cup A. Ainsi l'axiome dit essentiellement que:

la réunion d'un ensemble, dit de façon plus commune la réunion de tous les éléments de cet ensemble, est un ensemble

L'axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de...) ou un équivalent de celui-ci apparaît dans pratiquement toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.).

Notez qu'il n'y a aucun axiome correspondant pour l'intersection. Dans le cas où A est l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), il n'y a aucune intersection de A dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des ensembles de Zermelo-Fraenkel. D'autre part, si A a un certain élément B, nous pouvons former l'ensemble \cap A = \{ C\in B\ /\ \forall D\in A,\ C\in D\} en employant le schéma d'axiomes de compréhension.

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