Groupe de symétrie - Définition

Généralisation

Dans des contextes plus larges, un groupe de symétrie peut être n'importe quelle sorte de groupe de transformations, ou groupe d'automorphismes. Une fois que l'on connaît à quelle sorte de structure mathématique on a affaire, on peut déterminer quelles applications la préservent. Inversement, en précisant la symétrie, on peut définir la structure, ou au moins clarifier ce que l'on entend par un invariant, langage géométrique permettant de l'appréhender ; c'est une façon de voir le programme d'Erlangen.

Par exemple, les groupes d'automorphismes de certains modèles de géométries finies (en) ne sont pas des "groupes de symétrie" au sens usuel, bien qu'ils conservent la symétrie. Ils le font en conservant les familles d'ensembles de points plutôt que les ensembles de points ou "objets" eux-mêmes.

Comme ci-dessus, le groupe d'automorphismes de l'espace induit une action de groupe sur les objets qu'il contient.

Pour une figure géométrique donnée dans un espace géométrique donné, on considère la relation d'équivalence suivante : deux automorphismes de l'espace sont équivalents si les deux images de la figure sont les mêmes (ici "les mêmes" ne signifie pas quelque chose comme par exemple "le même à une translation et une rotation près", mais signifie "exactement le même"). Alors, la classe d'équivalence de l'identité est le groupe de symétrie de la figure et chaque classe d'équivalence correspond à une version isomorphe de la figure.

Il existe une bijection entre deux classes d'équivalence quelconques : l'inverse d'un représentant de la première classe d'équivalence, composé par un représentant de la seconde.

Dans le cas d'un groupe d'automorphisme fini de l'espace entier, son ordre est l'ordre du groupe de symétrie de la figure multiplié par le nombre de versions isomorphes de la figure.

Exemples :

• Isométries du plan euclidien, la figure est un rectangle : il existe une infinité de classes d'équivalence ; chacune contient 4 isométries.
• L'espace est un cube avec une métrique euclidienne, les figures incluent les cubes de la même taille que l'espace, avec des couleurs ou des motifs sur les faces, les automorphismes de l'espace sont 48 isométries ; la figure est un cube dont une face a une couleur différente, son groupe de symétrie contient 8 isométries ; il existe 6 classes d'équivalence de 8 isométries, pour 6 versions isomorphes de la figure.