Groupe de symétrie - Définition et Explications

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Dimension 1

Les groupes d'isométries en dimension 1 où, pour tous les points, l'ensemble des images sous les isométries est topologiquement fermé sont :

  • le groupe trivial C1
  • les groupes de deux éléments engendrés par une symétrie centrale ; ils sont isomorphes au groupe cyclique (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un groupe cyclique, ou ce qui...) d'ordre 2, C2
  • les groupes discrets infinis engendrés par une translation ; ils sont isomorphes au groupe cyclique infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), Z
  • Les groupes discrets infinis engendrés par une translation et une symétrie centrale ; ils sont isomorphes au groupe diédral (En mathématiques, le groupe diédral noté Dn, pour , ou parfois D2n, est un groupe...) généralisé de Z, Dih(Z), ou plus directement au groupe diédral infini D (qui est un produit semi-direct de Z par C2 ).
  • Le groupe engendré par toutes les translations (isomorphe à R) ; ce groupe ne peut pas être le groupe de symétrie (Le groupe de symétrie d'un objet (image, signal, etc.) est le groupe de toutes les...) d'un "motif" : il serait homogène, par conséquent il pourrait aussi être réfléchi. Néanmoins, un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vecteurs unidimensionnel uniforme a ce groupe de symétrie.
  • Le groupe engendré par toutes les translations et réflexions en tous points ; il est isomorphe au groupe diédral généralisé de R, Dih(R).

Dimension 3

À conjugaison près, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des groupes ponctuels de symétrie 3D (voir l'article : Groupes ponctuels de symétrie en dimension 3 (en)) est constitué de 7 séries infinies et de 7 autres séparées. En cristallographie, ils sont restreints pour être compatibles avec les symétries discrètes de translation d'un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) cristallin. Cette restriction cristallographique de la famille infinie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou...) de groupes ponctuels généraux a pour résultat 32 groupes ponctuels cristallographiques (27 à partir des 7 séries infinies et 5 des 7 autres).

Les groupes ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) de symétrie continus incluent quant à eux :

  • la symétrie cylindrique sans une réflexion de plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à l'axe, ceci s'applique souvent à une bouteille, par exemple.
  • la symétrie cylindrique avec une réflexion de plan perpendiculaire à l'axe
  • la symétrie sphérique

Pour les objets et les champs scalaires, la symétrie cylindrique implique des plans verticaux de réflexion. Ce n'est pas le cas pour les champs de vecteurs : en coordonnées cylindriques relativement à un certain axe, \mathbf{A} = A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi} + A_z\boldsymbol{\hat z} a une symétrie cylindrique relative à cet axe si et seulement si A_\rho, A_\varphi, et Az ont cette symétrie, i.e., ne dépendent pas de φ. Il existe de plus une réflexion si et seulement si A_\varphi = 0.

Pour la symétrie sphérique, il n'existe pas de telle distinction, elle implique des plans de réflexion.

Les groupes de symétrie continus sans point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E...) incluent ceux avec vissages, tel le groupe d'une hélice (Hélice est issu d'un mot grec helix signifiant « spirale ». Un objet en forme...) infinie.

Dimension 2

À conjugaison près, les groupes de point (Graphie) discrets dans un espace bidimensionnel appartiennent aux classes suivantes :

  • les groupes cycliques C1, C2, C3, C4,... où Cn est constitué de toutes les rotations, autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) d'un point fixé, par des multiples de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) 360°/n
  • les groupes diédraux D1, D2, D3, D4,... où Dn (d'ordre 2n) est le groupe de symétrie d'un polygone régulier (En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses...) à n côtés. Il est constitué des rotations appartenant à Cn et de n symétries par rapport à des axes qui passent par le centre commun à ces rotations.

C1 est le groupe trivial contenant seulement l'opération identité, qui apparaît lorsque la figure n'a pas de symétrie du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...), par exemple la lettre F. C2 est le groupe de symétrie de la lettre Z, C3 celui d'un triskèle, C4 d'un svastika (Le svastika (parfois appelé par abus de langage la svastika au lieu de la croix en forme de...) et C5, C6 etc. sont les groupes de symétrie de figures similaires au svastika avec cinq, six etc. bras à la place de quatre.

D1 est le groupe à 2 éléments contenant l'opération identité et une réflexion unique, qui apparaît lorsque la figure a seulement un seul axe de symétrie bilatéral, par exemple la lettre A. D2, qui est isomorphe au groupe de Klein, est le groupe de symétrie d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) non carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...).

Les groupes de symétrie concrets dans chacun de ces cas ont deux degrés de liberté pour le centre de rotation, et dans le cas des groupes diédriques, un de plus pour les positions des miroirs.

Les groupes d'isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) restants en 2D avec un point fixé, où pour tous les points, l'ensemble des images sous les isométries est topologiquement fermé, sont :

  • le groupe spécial orthogonal SO(2) constitué de toutes les rotations autour d'un point fixé ; il est isomorphe au groupe cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) S1, qui est le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. C'est le groupe de symétrie propre d'un cercle et l'équivalent continu de Cn. Aucune figure n'a pour groupe de symétrie complet ce groupe cercle, mais pour un champ de vecteurs cela peut arriver (voir le cas 3D ci-dessous),
  • le groupe orthogonal (Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps , muni d'une forme quadratique q. Un...) O(2) constitué de toutes les rotations autour d'un point fixé et des réflexions d'axe quelconque passant par ce point. C'est le groupe de symétrie d'un cercle. Il est aussi appelé Dih(S1) car c'est le groupe diédral généralisé de S1.

Pour les figures non bornées, les groupes d'isométrie supplémentaires peuvent inclure les translations ; ceux qui sont fermés sont :

  • les 7 groupes de frise,
  • les 17 groupes de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres...) peint,
  • pour chaque groupe de symétrie en 1D, la combinaison (Une combinaison peut être :) de toutes les symétries de ce groupe dans une direction et de toutes les translations dans la direction perpendiculaire,
  • idem en ajoutant les réflexions par rapport à un axe dans la première direction.
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