Cube - Définition et Explications

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Introduction

Cube
Cube

Type Polyèdre régulier
Faces Carré
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
6
12
8
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 4
Isométries Oh
Dual Octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont...)
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...),
zonoèdre

En géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...), un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn),...), le seul ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ».

L'étymologie du terme cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.

Le terme de cube, appliqué à un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...), désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre géométrique (En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes...) était omniprésente, le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) d'un nombre était vu comme la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) d'un cube de côté le nombre initial . L'expression « a3 » peut se lire « a au cube » et « a cube ».

Le squelette (Le squelette est une charpente animale rigide servant de support pour les muscles. Il est à la...) du cube, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) appelé graphe hexaédrique.

Géométrie

Cube svg int.svg

Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus :

  • Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
  • Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
  • Tous les angles dièdres sont droits.
  • Les diagonales s'intersectent en un unique point (Graphie), le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.

Mais par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) ses arêtes sont toutes de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés, de même superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent...), égale à a². De fait :

  • son aire vaut donc 6 × a² ;
  • son volume vaut a³ ;
  • la longueur d'une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) vaut a\sqrt{3} ;
  • la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) circonscrite a donc pour rayon \frac a2 \sqrt{3} ;
  • la sphère tangente aux arêtes a pour rayon \frac a2\sqrt{2} ;
  • la sphère inscrite a pour rayon \frac a2 ;
  • l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) entre la diagonale et chacun des plans adjacent vaut \arctan\left(\frac 1\sqrt{2}\right) \simeq 35.26^\circ.

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...).

Groupe des isométries

Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries :

  • 3 axes de rotation d'ordre 4 : axes passant par le centre de deux faces opposées ;
  • 6 axes de rotations d'ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées ;
  • 4 axes de rotation d'ordre 3 : axes passant par deux sommets opposés ;
  • la symétrie de centre O ;
  • 9 plans de symétrie : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.

Une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) du cube est entièrement définie par l'image d'un sommet et des trois arêtes issues de ce sommet (repère de l'espace). Ce sommet peut avoir pour image l'un quelconque des 8 sommets du cube. La première arête a alors 3 images possibles, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) arête deux images seulement et l'image de la dernière arête est alors déterminée. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48. Ces isométries se partagent en 24 isométries positives et 24 isométries négatives. Les isométries positives possèdent toutes le point O comme invariant : on dénombre alors 23 rotations plus l'identité.

On retrouve alors les axes de rotations précédents :

  • 3 axes de rotation générant 3 rotations d'angle non nul, soit 9 rotations ;
  • 6 axes de rotation générant 1 rotation d'angle plat, soit 6 rotations ;
  • 4 axes de rotation générant 2 rotations d'angle non nul, soit 8 rotations.

ainsi que les 9 symétries par rapport à un plan générées par les 9 rotations d'angle plat composées avec la symétrie de centre O.

Ce qui prouve que l'inventaire était bien exhaustif.

Ce groupe est le plus vaste de ceux des polyèdres réguliers qui peuvent paver l'espace. L'analyse associée se trouve dans l'article réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) (géométrie).

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