Identités vectorielles - Définition et Explications

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Introduction

Articles d'analyse vectorielle
Champ vectorielChamp scalaire
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) aux dérivées partielles
de Laplace de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...)
Opérateurs
Nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction...) Gradient
Rotationnel Divergence
Laplacien scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) Bilaplacien
Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de...).

  •  \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b\cdot(\mathbf c \times \mathbf a) = \mathbf c\cdot(\mathbf a\times \mathbf b)
  •  \mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c) = (\mathbf c \times \mathbf b) \times \mathbf a = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c(\mathbf a\cdot \mathbf b)
  •  (\mathbf a \times \mathbf b)\cdot(\mathbf c \times \mathbf d) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)(\mathbf b \cdot \mathbf d) - (\mathbf a\cdot \mathbf d)(\mathbf b\cdot \mathbf c)
  •  \nabla \times (\nabla \psi) = \mathbf 0
  •  \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V) = 0
  •  \nabla\times(\nabla\times\mathbf V) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf V)-\nabla^2\mathbf V
  •  \nabla(\psi\phi) = (\nabla\psi)\phi + (\nabla\phi)\psi
  •  \nabla \cdot (\psi\mathbf V) = (\nabla\psi)\cdot \mathbf V + (\nabla \cdot \mathbf V)\psi
  •  \nabla \times (\psi\mathbf V) = (\nabla\psi)\times \mathbf V + (\nabla\times\mathbf V)\psi
  •  \nabla(\mathbf A\cdot \mathbf B) = (\mathbf A \cdot \nabla)\mathbf B+(\mathbf B\cdot \nabla)\mathbf A + \mathbf A\times(\nabla\times \mathbf B) + \mathbf B\times(\nabla \times \mathbf A)
  •  \nabla\cdot(\mathbf A \times \mathbf B) = (\nabla\times\mathbf A)\cdot \mathbf B - \mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B)
  •  \nabla \times (\mathbf A\times \mathbf B) = \mathbf A(\nabla\cdot \mathbf B) - \mathbf B(\nabla\cdot \mathbf A) + (\mathbf B\cdot \nabla)\mathbf A - (\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B

Identités vectorielles générales

Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques.

Conventions d'écriture

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées :

Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...)

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté

 \mathbf a \cdot \mathbf b

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

 \mathbf a \cdot \mathbf b = a_ib^i

Produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...)

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté

 \mathbf a \times \mathbf b

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

 (\mathbf a \times \mathbf b)_i = {\epsilon_i}^{jk}a_jb_k

Symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur...)

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :

 {\epsilon_{ij}}^k{\epsilon_k}^{lm} = \delta_i^l\delta_j^m - \delta_i^m\delta_j^l

Avec δ le symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1...).

Triple produits

  •  \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b\cdot(\mathbf c \times \mathbf a) = \mathbf c\cdot(\mathbf a\times \mathbf b)
  •  \mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c) = (\mathbf c \times \mathbf b) \times \mathbf a = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c(\mathbf a\cdot \mathbf b)

La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel :  (\mathbf a \times \mathbf b) = - (\mathbf b\times \mathbf a) . La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) est démontrée ci-dessous.

Autres Produits

  •  (\mathbf a \times \mathbf b)\cdot(\mathbf c \times \mathbf d) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)(\mathbf b \cdot \mathbf d) - (\mathbf a\cdot \mathbf d)(\mathbf b\cdot \mathbf c)

Combinaisons d'opérateurs

Rotationnel du gradient

Le rotationnel du gradient de n'importe quel champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) scalaire ψ est toujours nul :

 \nabla \times (\nabla \psi) = \mathbf 0

Divergence du rotationnel

La divergence du rotationnel de n'importe quel champ vectoriel \mathbf V est toujours nulle :

 \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V) = 0

Laplacien

Laplacien d'un champ scalaire

Le Laplacien d'un champ scalaire ψ est défini comme la divergence du gradient :

 \nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi

C'est un scalaire.

En convention de sommation d'Einstein, le Laplacien d'un champ scalaire se note comme suit :

 \nabla^2\psi = \partial_i\partial^i\psi

Laplacien d'un champ vectoriel

Le Laplacien vectoriel d'un champ vectoriel est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) dont les composantes sont les laplacien des composantes.

En convention de sommation d'Einstein cela se note :

 (\nabla^2 \mathbf V)_i = \nabla^2 (V_i) = \partial_j\partial^j(V_i)

Rotationnel du rotationnel

Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel \mathbf V est donné par :

 \nabla\times(\nabla\times\mathbf V) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf V)-\nabla^2\mathbf V
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