Analyse vectorielle - Définition

Introduction

Articles d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien E à valeurs respectivement dans et dans E. Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.

Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas où est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs. (Pour une approche plus théorique, voir géométrie différentielle)

Principaux opérateurs différentiels linéaires de tri

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles du second ordre.

• On les rencontre en particulier en mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes).
• Et aussi en électromagnétisme, où ils permettent d'exprimer les propriétés du champ électromagnétique. La formulation moderne des équations de Maxwell utilise ces opérateurs.
• Ainsi que dans toute la physique mathématique (propagation, diffusion, résistance des matériaux,...).

L'opérateur formel nabla

L'opérateur nabla tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de défini en coordonnées cartésiennes par

.

On écrit aussi pour souligner que formellement, l'opérateur nabla a les caractéristiques d'un vecteur. On le qualifie d'ailleurs de pseudovecteur. Il ne contient certes pas de valeurs scalaires, mais on va utiliser ses éléments constitutifs (que l'on peut voir comme des opérations en attente d'argument) très exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.

La notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes, mais seulement dans ce cas (y faire très attention !).

Le gradient

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en champ de vecteurs. Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

En mathématiques, le gradient du champ f, supposé continûment différentiable, au point a, est défini par la relation

,

où désigne la valeur sur le vecteur h de la différentielle de la fonction f au point a.

C'est donc tout simplement la définition de l'application linéaire tangente du champ scalaire f(M)= f(x, y, z) en M = a . De plus, pour une surface d'équation f(x,y,z) = 0, le vecteur normal à la surface au point a = (x_a,y_a,z_a) est donné par , ce qui se déduit facilement de ce qui précède.

Il en résulte immédiatement que la dérivée de la fonction en a par rapport au vecteur v est donnée par

En dimension 3 et coordonnées cartésiennes, le champ de gradients vérifie

Cette relation peut servir, dans le cas particulier où elle s'applique, de définition du gradient. Elle se généralise naturellement en dimension quelconque en ajoutant des composantes au nabla.