Symbole de Levi-Civita
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions.
Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...).
\varepsilon_{ijk} =\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2}& \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2}& \delta_{j3}  \\ \delta_{k1} & \delta_{k2}& \delta_{k3} \end{vmatrix}

Ainsi \varepsilon_{ijk} ne peut prendre que trois valeurs : -1, 0 ou 1.

En 3 dimensions on peut figurer le symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :) comme suit :

\varepsilon_{ijk} =  \begin{cases} +1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ou } (3,1,2), \\ -1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ou } (2,1,3), \\ 0  & \mbox{autrement: }i=j \mbox{ ou } j=k \mbox{ ou } k=i, \end{cases}

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet...):

\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn}
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

On peut démontrer que:

\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!

est vrai en n dimensions.

Page générée en 0.019 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique