Mesure secondaire - Définition

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- Introduction - Les grandes lignes de la théorie - Suite (ρn) des mesures secondaires - Cas de la mesure secondaire de la mesure de Lebesgue, et quelques autres exemples - Les plus belles applications

Suite (ρn) des mesures secondaires

La mesure secondaire $μ$ associée à une densité de probabilité $ρ$ a son moment d'ordre 0 égal à $d 0 = c 2 - (c 1) 2$ , ( $c 1$ et $c 2$ désignant les moments respectifs d'ordre 1 et 2 de $ρ$ ).

Pour pouvoir itérer le procédé on normalise alors $μ$ en définissant $\rho_1 =\frac{\mu}{d_0}$ qui devient à son tour une densité de probabilité appelée naturellement mesure secondaire normalisée associée à $ρ$ .

On peut alors définir de proche en proche à partir de $ρ 0 = ρ$ la suite $n\mapsto \rho_n$ ,chaque terme étant la mesure secondaire normalisée du précédent.

Il est possible d'expliciter la densité $ρ n$ en utilisant les polynômes orthogonaux $P n$ pour $ρ$ , les polynômes secondaires $Q n$ et la réductrice associée $\varphi$ . Cela donne la formule :

Le coefficient $d_0^{n-1}$ s'obtient facilement à partir des coefficients dominants des polynômes $P n - 1$ et $P n$ . On peut également expliciter la réductrice $\varphi_n$ associée à $ρ n$ , ainsi que les polynômes orthogonaux correspondant à $ρ n$ .

Un très beau résultat concerne l'évolution de ces densités lorsque l'indice tend vers l'infini et que le support des mesures est l'intervalle standard $\left[0,1\right]$ .

Soit la relation de récurrence à trois termes : $x P n (x) = t n P n + 1 (x) + s n P n (x) + t n - 1 P n - 1 (x)$ .

Si $\lim_{n \mapsto \infty}t_n=\frac{1}{4}$ et $\lim_{n \mapsto \infty}s_n=\frac{1}{2}$ , alors la suite $n\mapsto \rho_n$ converge complètement vers la densité de Tchebychev de deuxième forme $\rho_{tch}(x)=\frac{8}{\pi}\sqrt{x(1-x)}$ .

Ces conditions limites sont vérifiées par une très large classe de densités classiques.

Mesures équinormales

On appelle ainsi deux mesures conduisant à la même densité secondaire normalisée. Il est remarquable que les éléments d'une classe donnée de même moment d'ordre 1 soient reliés par une homotopie. Plus précisément, si la densité $ρ$ a son moment d'ordre 1 égal à $c 1$ , ces densités équinormales à $ρ$ seront donnés par une formule du type: $\rho_{t}(x)=\frac{t\rho(x)}{\left[\left(t-1\right)(x-c_1)\frac{\varphi\left(x\right)}{2}-t\right]^2+\pi^2\rho^2(x)(t-1)^2(x-c_1)^2}$ , t décrivant un intervalle contenant ]0, 1].

Si $μ$ est la mesure secondaire de $ρ$ , celle de $ρ t$ est $t μ$ .

La réductrice de $ρ t$ est : $\varphi_t(x)=\frac{2\left(x-c_1\right)-tG(x)}{\left((x-c_1)-t\frac{G(x)}{2}\right)^2+t^2\pi^2\mu^2(x)}$ en notant $G (x)$ la réductrice de $μ$ .

Les polynômes orthonormaux pour la mesure $ρ t$ sont explicités à partir de $n = 1$ par la formule:

$P_n^t(x)=\frac{1}{\sqrt{t}}\left[tP_n(x)+(1-t)(x-c_1)Q_n(x)\right]$ avec $Q n$ secondaire associé à $P n$

Il est remarquable aussi que, au sens des distributions, la limite lorsque $t$ tend vers 0 par valeur supérieure de $ρ t$ soit la mesure de Dirac concentrée en $c 1$ .

Pour exemple, les densités équinormales à la mesure de Tchebychev de deuxième forme sont définies par : $\rho_t(x)=\frac{2t\sqrt{1-x^2}}{\pi\left[t^2+4(1-t)x^2\right]}$ , avec $t$ décrivant ]0,2]. La valeur $t$ =2 donne la mesure de Tchebychev de première forme.

Cas de la mesure secondaire de la mesure de Lebesgue, et quelques autres exemples

Mesure secondaire de Lebesgue

La mesure de Lebesgue sur l'intervalle standard $\left[0,1\right]$ est obtenue en prenant la densité constante $ρ(x) = 1$ .

Les polynômes orthogonaux associés sont appelés polynômes de Legendre et peuvent être explicités par $P_n(x)=\frac{d^{(n)}}{dx^n}\left(x^n(1-x)^n\right)$ . La norme de $P n$ vaut $\frac{n!}{\sqrt{2n+1}}$ . La relation de récurrence à trois termes s'écrit :

La réductrice de cette mesure de Lebesgue est donnée par $\varphi(x)=2\ln\left(\frac{x}{1-x}\right)$ . la mesure secondaire associée s'explicite alors comme : $\mu(x)=\frac{1}{\ln^2\left(\frac{x}{1-x}\right)+\pi^2}$ .

Exemples de mesures réductibles

Si on normalise les polynômes de Legendre, les coefficients de Fourier de la réductrice $\varphi$ par rapport à ce système orthonormé sont nuls pour un indice pair et données par $C_n(\varphi)=-\frac{4\sqrt{2n+1}}{n(n+1)}$ pour un indice $n$ impair.

Les polynômes de Laguerre sont liés à la densité $ρ(x) = e - x$ sur l'intervalle $I=\left[0,+\infty \right[$ .

Ils sont explicités par $L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})=\sum_{k=0}^{k=n}\binom{n}{k}(-1)^k\frac{x^k}{k!}$ et sont normés.

la réductrice associée est définie par $\varphi(x)=2\left[\ln(x)-\int_0^{+\infty}e^{-t}\ln|x-t|dt\right]$ .

Les coefficients de Fourier de la réductrice $\varphi$ par rapport aux polynômes de Laguerre sont donnés par :

. Ce coefficient

n'est autre que l'opposé de la somme des éléments de la ligne d'indice

n

du tableau des nombres triangulaires harmoniques de Leibniz.

Les polynômes d'Hermite sont associées à la densité de Gauss $\rho(x)=\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}$ sur $I=\ R$ . Ils sont explicités par $H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)$ et sont normés. La réductrice associée est définie par :

Les coefficients de Fourier de la réductrice $\varphi$ par rapport au système des polynômes d'Hermite sont nuls pour un indice pair et données par $C_n(\varphi)=(-1)^{\frac{n+1}{2}}\frac{\left(\frac{n-1}{2}\right)!}{\sqrt{n!}}$ pour un indice $n$ impair.

La mesure de Tchebychev de deuxième forme est définie par la densité $\rho(x)=\frac{8}{\pi}\sqrt{x(1-x)}$ sur l'intervalle [0,1]. C'est la seule qui coïncide avec sa mesure secondaire normalisée sur cet intervalle standard. Sous certaines conditions elle apparait comme limite de la suite des mesures secondaires normalisées d'une densité donnée.

Exemples de mesures non réductibles.

Mesure de Jacobi de densité $\rho(x)=\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ sur ]0,1[.

Mesure de Tchebychev de première forme de densité $\rho(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}$ sur ]-1,1[.

Les grandes lignes de la théorie

Les plus belles applications

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