Polynôme de Legendre - Définition et Explications

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Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :

\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}\right]+l(l+1)y=0

l est un entier naturel représentant l'ordre du polynôme.

On peut aussi les définir par l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) de contour :

P_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int(1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) des aiguilles d'une montre.

Les premiers polynômes sont :

  • P_{0}(x)=1 \,
  • P_{1}(x)=x\,
  • P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,
  • P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,
  • P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,
  • P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,

La relation de récurrence entre les différents polynomes s'écrit:

  • P_{n}(x)=\frac{1}{n}((2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))\,

Ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un...) \varphi défini sur \R[X] par la relation :

\varphi(P,\, Q) = \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, dx.
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