Ordinal de Hartogs - Définition

Cardinalité

Un ordinal qui est inférieur à h_A s'injecte dans A, il ne peut donc être en bijection avec h_A (qui lui ne s'injecte pas dans A). Un tel ordinal est dit ordinal initial, ou cardinal, car les ordinaux initiaux représentent les cardinaux des ensembles bien ordonnés, c'est-à-dire, en présence de l'axiome du choix, tous les cardinaux.

L'ordinal de Hartogs d'un ordinal initial κ, h_κ est l'ordinal initial qui suit κ, le successeur de κ au sens cardinal, parfois noté κ⁺. Dans le cas des cardinaux infinis (les aleph), si κ = ℵ_α, son cardinal de Hartogs est κ⁺ = ℵ_α+1. En particulier pour ℵ₀ le cardinal du dénombrable, on obtient que le cardinal de Hartogs de l'ensemble des entiers est ℵ₁, c'est-à-dire que ℵ₁ est le cardinal de l'ensemble des ordinaux au plus dénombrables, et même, comme il est facile de l'en déduire, de tous les ordinaux dénombrables (au sens infini dénombrable).

Le théorème de Cantor montre que l'ensemble des parties de A, 2^A, tout comme h_A, ne s'injecte pas dans A. Mais à la différence de h_A, 2^A n'est pas forcément bien ordonnable en l'absence de l'axiome du choix.

En présence de l'axiome du choix, tout ce que l'on sait pour les cardinaux infinis c'est que ℵ_α+1 (ordinal de Hartogs de ℵ_α) est inférieur ou égal à 2^ℵ_α. Affirmer l'égalité de ces cardinaux revient à affirmer l'hypothèse généralisée du continu.

Quelques applications du théorème de Hartogs

La comparabilité cardinale

L'existence de l'ordinal de Hartogs, en fait l'existence pour tout ensemble A d'un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A, permet de déduire immédiatement de la comparabilité cardinale que tout ensemble est bien ordonnable.

En effet, la comparabilité cardinale énonce qu'étant donné deux ensembles A et B, il existe une injection de A dans B ou il existe une injection de B dans A. C'est la totalité de la « relation » de subpotence qui compare les ensembles du point de vue cardinal. On la déduit de l'axiome du choix, par exemple par le théorème de Zermelo, car deux bons ordres sont toujours comparables, l'un étant isomorphe à un segment initial de l'autre ou réciproquement (c'est aussi une conséquence très simple du lemme de Zorn).

Le théorème de Hartogs établit sans l'axiome du choix l'existence, pour tout ensemble A, d'un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A. On déduit alors de la comparabilité cardinale que A s'injecte dans cet ensemble et donc est lui même bien ordonné (en transportant l'ordre sur l'image) : la comparabilité cardinale équivaut au théorème de Zermelo, donc à l'axiome du choix, modulo les autres axiomes de la théorie des ensembles.

L'hypothèse généralisée du continu entraîne l'axiome du choix

On dira d'un ensemble A qui s'injecte dans un ensemble B que A est subpotent à B. L'hypothèse généralisée du continu énoncée, sous la forme suivante :

Pour tout ensemble infini A, si un ensemble B est tel que A est subpotent à B et B est subpotent à 2^A (c'est-à-dire à l'ensemble des parties de A), alors B est équipotent à A ou B est équipotent à 2^A

a pour conséquence l'axiome du choix dans ZF. Ce résultat a été démontré en 1947 par Wacław Sierpiński. La démonstration utilise l'ordinal de Hartogs. En particulier Sierpinski démontre que dans ZF (sans axiome du choix) l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A s'injecte dans l'ensemble des parties itéré 3 fois sur A, soit 2^22A, en faisant correspondre à un ordinal subpotent à A la classe des ensembles de parties de A ordonnée par inclusion de façon isomorphe à cet ordinal.