Théorème de Cantor
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Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles, qui doit son nom au mathématicien Georg Cantor.

Cantor démontre que, pour tout ensemble E, le cardinal de E est toujours strictement inférieur au cardinal de \mathfrak P(E) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des parties de E.

Lorsque E est un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.), le résultat est évident car le cardinal de E est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'éléments dans E et, si E contient n éléments, on démontre que l'ensemble des parties de E contient 2n éléments. Il est alors aisé de vérifier que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier n, n < 2n.

Lorsque E est un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  : Le cardinal de E...), il faut repartir sur la comparaison des cardinaux.

\mathrm{card} (A) \leq \mathrm{card}(B) si et seulement si, il existe une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de A vers B.

Cantor démontre que \mathrm{card}(E) < \mathrm{card} (\mathfrak P(E)) par un raisonnement par l'absurde : il suppose que \mathrm{card}(E) \geq \mathrm{card} (\mathfrak P(E)), donc qu'il existe une injection de \mathfrak P(E) vers E et arrive à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.).

On appelle f cette injection. On construit alors un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) B de E de la manière suivante:
soit x un élément de E,
  • si x n'a pas d'antécédent par f alors x n'est pas dans B
  • si x possède un antécédent par f, il est unique car f est injective. On note cet antécédent Ax. Si x appartient à Ax alors x n'est pas dans B, si x n'appartient pas à Ax alors x est dans B.
B est une partie de E, et possède donc une image par f, que l'on nomme y. La question qui se pose est : " y est-il ou non un élement de B? ". y a pour antécédent B.
si y est dans B alors, par construction de B , y n'appartient pas à son antécédent donc y n'appartient pas à ... B
si y n'est pas dans B, toujours d'après la construction de B, y doit appartenir à son antécédent, donc y appartient à ... B
Les deux hypothèses mènent à une contradiction donc il ne peut pas exister d'injection de \mathfrak P(E) vers E

Ce type de raisonnement, que l'on appelle argument diagonal (Dans les preuves mathématiques, notamment celles de logique mathématique, l'argument diagonal est un mécanisme de construction réflexive menant le plus souvent à une impossibilité....), a été utilisé par Russell (et Zermelo) pour le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une...) de l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas.

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