Ordinal de Hartogs - Définition

Introduction

En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome de choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et lui équivaut à l'axiome du choix.

L'ordinal de Hartogs étant nécessairement un ordinal initial, ou cardinal, on parle également de cardinal de Hartogs. En présence de l'axiome du choix, le cardinal de Hartogs de A est le plus petit cardinal strictement supérieur au cardinal de A, au sens où il s'injecte dans tout ensemble qui ne s'injecte pas dans A.

Le théorème de Hartogs sous sa forme originale énonce que l'on peut associer à tout ensemble A un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A. Il particularise à l'ensemble A la construction qui mène au paradoxe de Burali-Forti. Cette version ne nécessite pas le schéma d'axiomes de remplacement, et se démontre donc dans la théorie de Zermelo sans axiome du choix.

Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier.

Existence et définition

On se place dans la théorie de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix, les ordinaux sont obtenus par la construction de von Neumann. On sait alors qu'à tout ensemble bien ordonné on peut associer un unique ordinal isomorphe à celui-ci (on utilise le schéma d'axiomes de remplacement via par exemple une définition par récurrence transfinie). Étant donné un ensemble A, on peut définir par le schéma d'axiomes de compréhension l'ensemble B_A des parties de A × A qui sont des graphes de relations de bon ordre sur un sous-ensemble de A. À chacune des relations de bon ordre de B_A on associe l'unique ordinal isomorphe à celui-ci : l'image de B_A par cette fonctionnelle est un ensemble d'ordinaux, soit h_A, par remplacement. Cet ensemble est clairement un segment initial de la classe des ordinaux, donc un ordinal lui-même. L'appartenance définit un ordre strict sur les ordinaux : si un ordinal est strictement inférieur à A c'est qu'il appartient à h_A, et h_A ne peut s'injecter dans A, car il appartiendrait à lui-même. On a donc montré :

Proposition (ZF). — Pour tout ensemble A il existe un unique ordinal h_A qui est le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A.

Le théorème de Hartogs dans la théorie de Zermelo

La théorie de Zermelo Z, qui est la théorie des ensembles originale de Zermelo vue comme théorie du premier ordre, est la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans le schéma de remplacement. Elle est strictement plus faible que cette dernière qui montre sa cohérence (on peut montrer l'existence d'un modèle de Z dans ZF). Bien qu'elle ait des défauts du point de vue de la théorie des ensembles, on considère qu'elle est suffisante pour formaliser la plupart des mathématiques classiques.

La théorie de Zermelo ne permet pas la construction des ordinaux de von Neumann, plus précisément en l'absence du remplacement on ne peut montrer que tout ensemble bien ordonné est isomorphe à un ordinal de von Neuman. Il est cependant possible d'énoncer un équivalent du théorème de Hartogs, qui devient :

Théorème de Hartogs (Z). — Pour tout ensemble A il existe un ensemble bien ordonné (H_A, ≤) qui ne s'injecte pas dans A, et qui est isomorphe à un segment initial de tout ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A.

La construction est essentiellement la même que ci-dessus, le bon ordre construit est isomorphe à l'ordinal de Hartogs dans la théorie ZF, mais plus longue du fait que l'on développe en quelque sorte une théorie des ordinaux locale à A, par passage au quotient, puisque l'on ne dispose plus des représentants des classes d'isomorphies de bons ordres que sont les ordinaux de von Neumann.

On construit donc de la même façon l'ensemble B_A des relations de bon ordre sur un sous-ensemble de A. On quotiente celui-ci par isomorphisme d'ordre. On définit une relation d'ordre strict entre deux bons ordres : le premier est isomorphe à un segment initial propre du second. Après passage au quotient on obtient un bon ordre qui est celui cherché.