Problème de Monty Hall - Définition

Clés pour comprendre le problème

Raisonnement par l’absurde

Prenons le cas d’un candidat qui suit toujours la même stratégie à chaque jeu, celle de maintenir systématiquement son premier choix. Ce candidat aura donc 1 chance sur 3 de gagner la voiture. En moyenne, il gagnera donc une fois sur trois et perdra forcement 2 fois sur 3. Or, plutôt que de perdre 2 fois sur 3, en changeant systématiquement son premier choix, ce candidat gagnera en moyenne 2 fois sur 3, puisqu’il ne reste plus qu’une seule porte à ouvrir sur les deux. La probabilité de gagner la voiture est donc de 2/3 en changeant le choix de départ.

Diagrammes

La probabilité que la voiture se trouve derrière la porte restante peut être calculé avec les diagrammes ci-dessous.

Après avoir choisi la porte numéro 3, par exemple, le candidat a une chance sur trois de tomber directement sur la voiture avec deux chances sur trois que la voiture soit parmi les deux portes restantes.

Puisqu'il n'y a qu'une seule voiture, il y a 100% de chance qu'il y ait une chèvre derrière au moins une des portes 1 ou 2.

Le présentateur ouvre maintenant la porte 1. Bien sûr le présentateur n'ouvre jamais une porte donnant sur la voiture, donc sans surprise la porte 1 donne sur une chèvre ce qui a pour effet de transférer la probabilité de 2/3 de chances d'avoir une voiture non plus sur les portes 1 et 2 comme expliqué précédemment, mais uniquement sur la porte 2 (voir graphique ci-dessous).

De manière encore plus simple, on peut reformuler en disant que si après le choix initial du candidat il était envisageable que la voiture se trouve derrière les portes 1 et 2 (avec une probabilité de 2/3), ce n'est plus le cas après l'ouverture de la porte 1 par le présentateur : seule la porte 2 est encore susceptible de cacher la voiture (et par conséquent, toujours avec une probabilité de 2/3)

Le diagramme ci-dessous montre le même raisonnement d'une manière plus complète et plus formalisée :

Simulation

Comme démontré précédemment, les valeurs théoriques données par les lois des probabilités sont donc :

• 1/3 de chances de gagner la voiture sans changer son choix initial, soit environ 33,3 %.
• 2/3 de chances de gagner la voiture en changeant son choix initial, soit environ 66,7 %.

Mais on peut également pratiquer une simulation à l'aide d'un programme informatique reproduisant des parties fictives et voir si, sur un grand nombre de parties, le résultat simulé tend vers le résultat donné par les probabilités et les confirment. Pour cela deux cas sont à distinguer :

1. Le cas où il y a un changement du choix initial
2. Le cas où le choix initial est conservé

Dans chaque cas, il convient de réaliser un grand nombre de situation pour réduire la marge d'erreur et de noter le pourcentage où le candidat gagne la voiture.

Un exemple de programme en JavaScript :

      <script type="text/javascript">      var games = 1000000;      var winsWithSwitch = 0;      var winsWithoutSwitch = 0;             document.writeln("
Après " + games + " parties…");             for(var i = 0; i < games; i++) {          // Place le prix derrière une porte, et laisse le joueur choisir.          var prizeDoor = Math.floor(Math.random()*3);          var choice = Math.floor(Math.random()*3);          // Ouvre une porte qui n'a pas de prix derrière.          var openedDoor;          if (choice == prizeDoor)              openedDoor = (prizeDoor + 1 + Math.floor(Math.random()*2)) % 3;          else              openedDoor = (0 + 1 + 2) - choice - prizeDoor;          // Laisse le joueur choisir la porte qui n'a pas été ouverte.          var switchDoor = (0 + 1 + 2) - choice - openedDoor;          if (choice == prizeDoor)              winsWithoutSwitch++;          if (switchDoor == prizeDoor)              winsWithSwitch++;         }             document.write("Le taux de réussite (''le candidat remporte la voiture'') sans effectuer de changement (''du choix  initial'')        est de ");      document.writeln(winsWithoutSwitch / games);      document.write("Le taux de réussite en effectuant un changement est de ");      document.writeln(winsWithSwitch / games);      document.write("
");      script>      

Voici un exemple de résultat du programme pour 1 000 000 simulations consécutives :

• Le taux de réussite (le candidat remporte la voiture) sans effectuer de changement (du choix initial) est de 0,333571.
• Le taux de réussite en effectuant un changement est de 0,666429.

La simulation ci-dessus, comme d'autres sur internet (Université de Rouen (200 itérations), (pour versions Internet explorer 4 ou +, en anglais) confirme les résultats théoriques d'1/3 et de 2/3 et ce d'autant plus que le nombre d'itérations est important ; on peut calculer la probabilité d'avoir de tels résultats en supposant que la vraie probabilité serait 1/2-1/2, elle peut être rendue arbitrairement petite en augmentant le nombre d'essais (on n'a pas signalé de simulation apportant un résultat contraire ; la confirmation du résultat 1/3-2/3 ne repose pas que sur les expériences, mais sur leur reproductibilité).

C'est cet argument qui vient à bout d'un scepticisme bien naturel, et qui a fini par convaincre Paul Erdös lui-même. Il est en général plus facile de se tromper dans une simulation que dans un raisonnement, même probabiliste, mais celle-ci est tellement simple à écrire qu'elle ne laisse guère de place à l'erreur, quoi qu'en suggère son résultat fortement contre-intuitif.