Problème de Monty Hall - Définition

La solution

Controverse

Si l'on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s'opposent.

• Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. On a donc tout autant de chances de gagner avec changement que sans changement.
• Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Or ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Il y a donc 1/3 de chances de gagner sans changer, 2/3 de chances de gagner en changeant.

Ce problème a longtemps été un cas de paradoxe probabiliste (à l'instar du problème de la Belle au bois dormant) pour lequel il existe deux solutions contradictoires défendables sans qu'on parvienne à faire triompher une interprétation. La solution 2/3-1/3 s'impose, en particulier après la réalisation de simulations d'un grand nombre de tirages.

Les hypothèses importantes

1. Les trois portes ont, tant qu'aucune n'est ouverte, la même probabilité d'être la porte gagnante ; cette hypothèse est équivalente aux deux qui suivent :

   (a) la porte qui est choisie en premier a une chance sur trois, au moment où elle est choisie, d'être la porte gagnante,

   (b) les deux portes non choisies ont au moment du choix une égale probabilité d'être la porte gagnante, pour un total de deux chance sur trois pour que le gros lot se trouve derrière l'une ou l'autre.

Un choix doit ensuite être fait entre les conditions suivantes :

1. Le présentateur ne peut ouvrir qu'une porte, et celle-ci ne peut être ni la porte choisie par le joueur, ni la porte gagnante (il connaît l'emplacement de cette dernière, ce qui lui permet de répondre à cette condition sans risque d'erreur).
2. Quand le présentateur a le choix entre deux portes à ouvrir (toutes deux perdantes), il choisit au hasard entre les deux, avec équiprobabilité; ce qui n'a pas d'importance, car les portes ne se distinguent alors pas fonctionnellement l'une de l'autre.

Ces hypothèses sont toutes importantes, et on verra que la modification de n'importe laquelle conduit à un résultat différent. Mais souvent, l'usage de plusieurs de ces hypothèses est implicite.

Réfutation des arguments pro-1/2

Longtemps le raisonnement développé ci-dessus n'a pas fait l'unanimité. Il lui était reproché de considérer que l'ouverture d'une mauvaise porte laisse inchangée la probabilité pour que la porte initialement choisie soit la bonne (1/3). Il est effectivement légitime de se demander pourquoi l'ouverture de la troisième porte ne modifie la probabilité que d'une des deux portes. En particulier il est clair que si les deux portes étaient ouvertes, cette probabilité deviendrait une certitude, soit dans un sens, soit dans l'autre. Cela montre donc que la probabilité varie en fonction des connaissances : c'est la notion de probabilité conditionnelle, et en fait toute probabilité, explique Myron Tribus est conditionnelle à un état de connaissance.

Ceux qui refusent ce raisonnement considèrent que la situation après ouverture d'une porte est équivalente à ouvrir une mauvaise porte avant le choix du candidat. Ils affirment par conséquent que la probabilité de gagner est la même en changeant ou sans changer, soit 1/2.

L'erreur de ce type de raisonnement est de ne retenir que l'événement « une porte a été ouverte ». Si une porte était ouverte strictement au hasard parmi les deux portes non choisies, et qu'elle révélait une chèvre, la probabilité deviendrait d'1/2 pour chacune des deux autres portes (parce qu'on a ici pris le risque d'ouvrir la porte dévoilant la voiture). Savoir ce qu'a prévu la direction du jeu pour le cas où la voiture aurait été dévoilée est sans importance (des possibilités sont envisagées dans les variantes).

Ce type de raisonnement assimile un phénomène aléatoire (une chance sur trois que la voiture soit derrière l'une quelconque des portes) et la connaissance que l'on a de la réalité du phénomène (derrière quelle porte est réellement située la voiture). C'est la notion bayésienne selon laquelle une probabilité est la traduction numérique d'un état de connaissance (paradoxe des camions prospecteurs).

Lorsque au début du jeu le joueur choisit une porte au hasard, il n'a aucun indice sur la position de la voiture, la probabilité de trouver la bonne porte est alors une chance sur trois.

Ouvrir une porte voire deux ou les trois, après le choix, ne modifiera en rien a posteriori la probabilité que l'on avait de choisir la bonne porte au début du jeu (la connaissance du résultat du tirage du loto ne modifie en rien la probabilité que vous aviez de gagner à ce tirage) mais en revanche nous apportera peut-être un indice sur la position de la voiture.

Dans notre cas l'animateur a ouvert une des deux portes que le joueur n'a pas choisie et derrière cette porte apparaît une chèvre. Cela modifie-t-il la connaissance que l'on a de la probabilité que derrière la porte choisie par le joueur se cache la voiture ? Oui pour les bayésiens, car les conditions de connaissance viennent de changer. Non pour les fréquentistes, qui considèrent que la probabilité est associée à l'événement lui-même et non à l'observateur (ce qui n'est vrai que dans des cas comme le jet d'une pièce de monnaie, où l'observation n'apporte rien). Comme il y a deux chèvres, l'animateur peut toujours ouvrir une porte pour faire apparaître une chèvre quelle que soit l'image qui se cache derrière la porte initialement choisie par le joueur. La probabilité que la porte choisie par le joueur cache une voiture est donc toujours d'une chance sur trois. En revanche, nous savons à coup sûr que la voiture est derrière une des deux portes non ouvertes, si la probabilité que ce soit derrière la porte initialement choisie est de 1/3 alors la probabilité que ce soit derrière l'autre porte est de : 1 - 1/3 = 2/3. Il faut donc pour les fréquentistes que le joueur change de choix, mais non pour les bayésiens.

Maintenant l'on peut examiner directement, après ouverture de la porte par l'animateur, si la connaissance de la probabilité que la voiture soit derrière la porte non ouverte et non choisie par le joueur a progressé. La réponse est oui, car dans le cas où la voiture est derrière une des deux portes non choisies par le joueur (deux chances sur trois), l'animateur a éliminé la chèvre (le mauvais choix pour le joueur), il ne reste donc que la voiture. En changeant son choix le joueur a donc une probabilité de 2/3 x 1 = 2/3 de trouver la voiture. L'aide apportée par l'animateur est donc d'éliminer le mauvais choix (la chèvre) dans deux cas sur trois à condition bien sûr que le joueur change son choix initial.

Pour une démonstration formelle, voir le paragraphe « résolution par la formule de Bayes ».

Raccordement des différents calculs

Pour faire le calcul avant ouverture de la porte, il faut raisonner ainsi: on doit envisager la possibilité que la porte choisie initialement soit la bonne, et celle que chacune des deux autres portes soit la bonne. Il faut alors penser à l'issue de chacune de ces possibilités, c'est-à-dire se demander quelle porte sera ouverte par le présentateur (4 sous-cas en tout) et ce qu'il faudra faire alors pour gagner. On voit rapidement que la probabilité de gagner en changeant est égale à 1-p, p étant la probabilité pour la porte initialement choisie d'être la bonne, ici 1/3 (Hypothèse 1a). Donc ici, on gagne 2 fois sur 3 en changeant. Il est important ici de se rappeler qu'il n'y a jamais de remise (Hypothèses 2), sans quoi le raisonnement précédent n'est plus valable.

La probabilité est-elle inchangée par l'ouverture (plus précisément : par le choix fait par le présentateur entre les deux portes dont on envisageait l'ouverture) ? Pas forcément, mais tels que les calculs ont été faits, les situations après ouverture sont des sous-cas du calcul précédent. Donc, sans affirmer immédiatement que la probabilité est inchangée, la moyenne pondérée des probabilités correspondant à chaque porte ouverte par le présentateur doit correspondre au calcul précédent. Prétendre qu'on a 1 chance sur 2 de gagner sans changer quelle que soit la porte ouverte est donc incohérent.

Pour évaluer les chances après ouverture, il suffit en fait de constater qu'il y a après choix totale symétrie entre les 2 portes non choisies (Hypothèses 1b et 3). Puisque la moyenne pondérée doit valoir 2/3 et que les sous-cas doivent donner le même résultat, on retrouve bien 2 chances sur 3 de gagner en changeant quelle que soit la porte ouverte. Il était donc important de préciser que quand deux portes peuvent être ouvertes, le choix est équiprobable.

Le résultat 2/3 est donc parfaitement valide, mais il convient de ne pas l'annoncer sans préciser qu'il repose sur la parfaite symétrie des rôles des portes non choisies. En brisant cette symétrie, tous les résultats sont possibles.

De plus, le raisonnement a employé le fait que le jeu n'autorise jamais la remise. Si le présentateur n'agit pas en exploitant sa connaissance de la véritable porte, les précédents calculs ne s'appliquent pas.