Processus autorégressif - Définition

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- Introduction - Définition - Processus AR(p) - Processus AR(1)

Processus AR(1)

Un processus autorégressif d'ordre 1 s'écrit:

Représentation en moyenne mobile

On peut formuler le processus AR(1) de manière récursive par rapport aux conditions précédentes:

En remontant aux valeurs initiales, on aboutit à:

Propriété — $X_t=c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i}$

$\begin{align} X_t &=c+ \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t=c + \varphi(c+\varphi X_{t-2}+\varepsilon_{t-1})+\varepsilon_t \\ &= (1+\varphi)c + \varphi^2 X_{t-2} + \varepsilon_t +\varphi \varepsilon_{t-1}\\ &=\ldots\\ &= (1+\varphi+\varphi^2+\varphi^3+\ldots)c + \varepsilon_t +\varphi \varepsilon_{t-1}+\varphi^2 \varepsilon_{t-2}+\varphi^3 \varepsilon_{t-3}+\ldots\\ &=c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i} \end{align}$

Il est à noter que les sommes vont ici jusqu'à l'infini. Cela est dû au fait que les séries temporelles sont souvent supposées commencer depuis $t_0=-\infty$ et non pas $t 0 = 0$ . Certains auteurs considèrent cependant que la série commence en $t 0 = 0$ et ajoutent alors la valeur initiale $X 0$ dans la formule.

On peut voir que $X t$ est le bruit blanc convolé avec le noyau $\varphi^k$ plus une moyenne constante. Si le bruit blanc est gaussien, alors $X t$ est aussi un processus normal.

Représentation dans le domaine de la fréquence

La Densité spectrale de puissance est la Transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit:

Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage ( $Δ t = 1$ ) est plus petit que le decay time ( $τ$ ), alors on peut utiliser une approximation continue de $B n$ :

qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale:

où $γ = 1 / τ$ est la fréquence angulaire associée à $τ$ .

Moments d'un processus AR(1)

Pour calculer les différents moments d'un processus AR(1), soit son espérance, sa variance, son autocovariance et son autocorrélation, on va supposer que les bruits blancs sont indépendamment et identiquement distribués, d'espérance nulle et de variance $σ 2$ (que l'on note $\varepsilon_{i} \sim iid (0,\sigma^2)$ ).

Espérance

$\operatorname{E}[X_t]=\varphi^t X_0 + c\sum_{i=0}^{t-1}\varphi^i\,$

Démonstration par raisonnement par récurrence

P(0) (initialisation): $\operatorname{E}[X_0] = X_0\,$ , parce que X₀ est deterministique. L'expression est:

P(t+1) (hérédité ):

Comme E est un opérateur linéaire:

Avec l'hypothèse d'induction:

Par un changement de variables dans la somme, i -> i-1:

Et, avec $c = c \sum_{i=0}^{0} \varphi^i\,$ :

Variance

~~$\operatorname{Var}[X_t]= \sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2$~~

$\begin{align}\operatorname{Var}[X_t] &=\operatorname{E}\left [(X_t-\operatorname{E}[X_t])^2)\right ]\\ &=\operatorname{E}\left [(c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i}-c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i)^2 \right ] \text{Selon resultat obtenu plus haut}\\ &=\operatorname{E} [(\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i})^2 ]\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i} \operatorname{E} [(\varepsilon_{t-i})^2 ]\quad \text{car }\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i} \operatorname{Var} [\varepsilon_{t-i} ] \quad \text{car } \operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2 \quad \text{et } \operatorname{E}(X)=0 \quad \text{par hypothese}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2 \end{align}$

Autocovariance

$\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= \varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2$

$\begin{align}\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}] &=\operatorname{E}\left [(X_t-\operatorname{E}[X_t])(X_{t-j}-\operatorname{E}[X_{t-j}])\right ]\\ &=\operatorname{E}\left [(\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i})(\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i-j}) \right ]\\ &=\operatorname{E}[\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\varphi^{j}\varepsilon_{t-i}\varepsilon_{t-i-j} ]\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{E}[\varepsilon_{t-i}\varepsilon_{t-i-j} ]\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{E}[\varepsilon_{t-i}]\operatorname{E}[\varepsilon_{t-i-j}] \qquad \text{par hypothese d independance des } \varepsilon_{t-i}\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{E}[(\varepsilon_{t-i})^2]\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\operatorname{Var}[\varepsilon_{t-i}] \qquad \text{voir resultat pour la variance}\\ &=\varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2 \end{align}$

Autocorrélation

$\operatorname{Corr}[X_t,X_{t-j}]\equiv \frac{\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]}{\operatorname{Var}(X_t)}=\varphi^j$

Conditions de stationnarité

Le paramètre $\varphi$ détermine si le processus AR(1) est stationnaire ou non: $|\varphi| = \begin{cases} <1 & \textrm{Le \ processus \ est \ stationnaire}\\ =1 & \textrm{Marche \ aleatoire: \ le \ processus \ est \ donc \ non \ stationnaire}\\ >1 & \textrm{Le \ processus \ est \ explosif}\end{cases}$

ϕ<1

Les résultats suivant viennent du fait que si $| q | < 1$ alors la série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} aq^n=\frac{a}{1-q}$ .

$\text{si} |\varphi|<1:$

On peut voir que la fonction d'autocovariance décroît avec un taux de $\tau=-1/\ln(\varphi)$ . On voit ici que l'espérance et la variance sont constantes et que l'autocovariance ne dépend pas du temps: le processus est donc stationnaire.

ϕ=1

Lorsque $\varphi =1$ , le processus s'écrit: $X_t=c+ X_{t-1}+\varepsilon_t$ et donc, en considérant contrairement à avant que $t 0 = 0$ , $X_t=ct+X_0+\sum_{i=0}^{t-1}\varepsilon_{t-i}$

$\text{si} |\varphi|=1:$

Processus AR(p)

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