Transformée de Fourier
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En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme " somme infinie " des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...). L'analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz ou Euler en firent grand usage. Cependant,...) permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité :...).

La transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction...) \mathcal{F} est une opération qui transforme une fonction intégrable en une autre fonction, décrivant le spectre en fréquences de f. Si f est une fonction intégrable, sa transformée de Fourier est la fonction F(f) et donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la formule

F(f):s\mapsto \hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-i sx}\, dx

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de départ est l'ensemble des fonctions intégrables f d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) réelle x. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions F(f) d'une variable réelle s. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont...), on dit que x est la variable temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), que f est dans le domaine temporel, que s est la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot...) et que F est dans le domaine fréquentiel.

La formule dite de transformation de Fourier inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que...), opération notée TF -1, est celle qui permet (sous conditions) de retrouver f à partir du spectre :

f(x) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} F(w)\, e^{iwx}\, dw

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...), la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène peut être...) donnent une image de l'espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente...) du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets »,...), ils sont une sorte de " machine à transformation de Fourier " naturelle.

Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformée de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des distributions de Schwartz permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Si f est une fonction intégrable sur \mathbb{R}, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

F(s) = \hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-i s x}\, dx

F est aussi parfois notée \mathcal{F}\{f\} ou TF(ƒ).

La transformée de Fourier se généralise à de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement connexes (cf Dualité de Pontryagin) ou plus simplement les groupes abéliens finis (cf analyse harmonique sur un groupe abélien fini). La base utilisée n'est plus celles des fonctions exponentielles imaginaires mais les éléments du groupe dual.

Propriétés

  • cette transformation est linéaire
  • la transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par
\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1
  • par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à...) du graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de f
  • la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne.
  • on peut tenter d'appliquer un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit...) de dérivation sous intégrale : si la fonction g(x)=-ixf(x) est elle aussi intégrable, alors la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) de \hat{f} est la transformée de Fourier de g.
  • si f est dérivable, de limite nulle à l'infini, et f intégrable, alors \hat{f'}(s)=is \hat{f}(s) est la transformée de Fourier de f.

On peut résumer les deux dernières propriétés : sous conditions d'existence, la transformation de Fourier échange dérivation et multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par (plus ou moins) ix. C'est justement pour s'affranchir de ces conditions d'existence désagréables qu'il sera nécessaire d'élargir la classe des fonctions sur lesquelles opère la transformation de Fourier.

Inversion de Fourier

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable :

f(x) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} F(w)\, e^{iwx}\, dw

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) multiplicatif et le -i devenu i.


Extension à l'espace \mathbb{R}^n

Si f est une fonction intégrable sur \mathbb{R}^n, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

F(s) = \hat{f}(s) = \int f(x)\, e^{-i s\cdot x}\, dx

L'intégrale est prise sur l'espace entier et le point désigne le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet...) entre s et x.

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable :

f(x) =  \int_{-\infty}^{+\infty} F(w)\, e^{iwx}\, dw

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. On se place donc sur l'espace de fonctions L^2(\mathbb{R}), muni de sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le...) canonique. Pour des raisons qui apparaîtront claires, on modifie légèrement la convention sur la transformée de Fourier dans cette section.

Soit f une fonction de carré sommable sur \mathbb{R} et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A, A] :

\hat{f}_A(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i sx}\, dx

Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions \hat{f}_A convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de...) quadratique vers une fonction qu'on note \hat{f} et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f.

En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction \hat{f} est elle-même de carré sommable et

f = \lim\limits_{\|\;\|_2} \left[x\mapsto \frac1{\sqrt{2\pi}}\, \int_{-A}^{A} \hat{f}(w)\, e^{iwx}\, dw\right]

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.)

\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2

En physique, on interprète le terme |\hat{f}(w)|^2 figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :).

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. En effet, On peut montrer que l'application \mathcal F : L_2 \mapsto L_2 prolonge l'application qui a une fonction f, intégrable, associe sa transformée de Fourier. On se place alors sur l'espace L_1 \cap L_2 \, sur lequel la transformée de Fourier est bien définie et qui est dense dans L_2\,. Comme L_2\, est un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible...), on a l'unicité de \mathcal F.

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